Lorsque l'équation d'une surface renferme deux

paramètres

on peut encore trouver une surface S, à laquelle elle demeure tangente, quelles que soient les valeurs prises par a et ô, et qu'on appellera encore ïenveloppe de la surface variable. Pour y arriver, supposons d'abord

on aura alors une caractéristique définie par l'équation (09) et par

Quelle que soit la fonction s («), les courbes définies par (69) et (70) auront un ou plusieurs points communs définis par les équations

f{x, ij, z, a, b) = o

yb = ''

Le lieu de ces points s'obti(indra en éliminant rt, b^ entre ces trois équations. On obtiendra une surface S, qu'on peut supposer représentée par la première équation (71), à condition d'y remplacer a et b par leurs valeurs tirées des deux dernières équations. Le plan tangent à la surface (S) aura pour équation

Jdy c'a ?t/ <ib t>2/ :^z "^ :^a ^z ~^ ^b :}z

et cette équation se réduit à

qui est celle du plan tangent à la surface donnée. Le théorème est démontré.