Exemple. — Le plan
ux -\- vy -\- loz = sjcv^u^ ~\- b'^v^ -\- cP'io'a pour enveloppe l'ellipsoïde
Pour le voir, il suffit de considérer comme paramètres
Il V
variables — » — ? et d'appliquer la règle précédente.
W 10 rr T.
Théorie des développées
446. Nous avons vu que les normales principales d'une courbe gauche n'ont pas d'enveloppe. Mais on peut se pro-
poser d'associer les normales d'une courbe, de manière qu'elles forment une surface développable. Ce problème a une infinité de solutions que nous allons rechercher : les enveloppes des normales s'appellent encore des développées. Nous emploierons une méthode très féconde pour la résolution des problèmes relatifs aux courbes, et dont nous avons déjà dit quelques mots; nous voulons parler du trièdre mobile.
Soient OX, OY, OZ, les axes de coordonnées rectangulaires fixes, X, Y, Z, les coordonnées d'un point P quelconque de l'espace, par rapport à ces axes; soient «, 6, c, les coordonnées d'un point M, de la courbe, Mx, M//, M2, les axes mobiles attachés au point M, savoir, la tangente, la normale principale et la binormale. Soient enfin, x, y, s, les coordonnées du point P par rapport au trièdre mobile.
Les formules connues de la transformation de coordonnées sont, en conservant toujours, pour désigner les cosinus directeurs des axes mobiles, les notations des paragraphes précédents,
X = « -}- OLX -\- ly -\- \z \
Z = c -f ya^ + vy + C- )
Ces foruiules, jointes à celles de Frenet, renferment toute la théorie des courbes gauches.
447. Si, par exemple, le point M est le point d'une normale dont le déplacement infiniment petit est tangent à la normale, il satisfera aux trois conditions suivantes : 1" il sera dans le plan des ijz, ce qui donne
2° sou déplacement étant perpendiculaire à 0^', on aura
r/X , , r/Y , iVL ,^.
c/.s- ' as fis
3" ce déplacement sera dirigé vers le point M.
Or, des équations (69) on tire, parla différentiation, trois équations, dont la première sera
f^X = da -j- \dy -\- Xdz -\~ yd\ -\- zd\,
ou, en remarquant que da = ar/y et en utilisant les formules de Frenet (31, 34),
riX == \dy + \dz + [y. — (A^ -f t^,) y -f \-.z] ds.
Multiplions cette équation par a, les deux analogues par [i et Y, puis ajoutons membre à membre. Il vient
ac/X + ^cA'-+ ^dZ =[i—ky) ds]
OU, à cause de (70),
Cette équation montre que le point de la normale, qui décrit la développée, est sur l'axe de courbure. Donc toi/tes les développées sont sur la surface pokm^e.
Il reste à exprimer que le déplacement du point P est dirigé vers M; pour cela, je remarque que les projections de ce déplacement sur Oy et sur 0:; auront respectivement pour valeurs
XrfX -{- \}.dX -\' vdT^ = dy + zxds^ IdX + r^dY + ^dZ = dz — ijxds.
Ces projections devant être proportionnelles à y et à s, on a
dy -f- zxd$ dz — yxds
Cette équation peut s'écrire
ydz — zdy yi + ^2 - -^«^^
OU
d . arc tanff - = ids.
Appelons V l'angle de la normale considérée avec la normale principale ; l'équation précédente devient
dN = Tds.
Pour une seconde normale faisant un angle Vj avec la normale principale, on aura aussi, si elle enveloppe une courbe,
d\;^ = xds ;
fZ(V, -V) = o,
Donc les normales de la courbe qui enveloppent deux développées différentes font^ entre elles ^ un angle constant.
t8. Les développées des courbes gauches jouissent encore d'une propriété analogue à celles des courbes planes. Leur arc est égal à la différence des longueurs des normales qui aboutissent aux extrémités de cet arc. On pourrait donner de ce théorème une démonstration analytique analogue à celle que nous avons donnée pour les courbes planes. Nous préférons faire connaître une méthode géométrique fondée sur un lemme qui est d'un usage fréquent.
449. Soit / =^ x\B un segment de droite qui se déplace suivant une loi donnée ; soit /' = x\'B' une deuxième position de ce segment infiniment voisine de la première. Nous allons évaluer la partie principale de la variation du segment. Appelons a l'angle de AB et de A'B'; le théorème des projections appliqué au contour AA'B'B projeté sur AB donne l'égalité
/ = AB = AA' cos A'AB -f- A'B' ces a -f B'B ces (t: — B'BA) = AA' cos A'AB + l' cos a -\- BB' cos B'BA.
a. est infiniment petit. Donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut remplacer cosa par 1, et écrire
— dl = l' — l=kk' ces A'AB + BB' cosB'BA. (74)
C'est la formule cherchée.
450. Appliquons-la au problème des développées. Soit AB une normale à la courbe gauche en A, B son point de contact avec la développée. Le déplacement de A étant normal à AB, cos A'AB est infiniment petit ; le déplacement de
B est tangent à AB, donc cos B'Bx\ est infiniment voisin de d= 1. La formule (74) se réduit donc à
dl = ± BB'.
Mais, toujours avec la môme approximation, on peut, si l'on appelle a l'arc de développée, remplacer la corde BB' par la différentielle de l'arc (/:>, et l'on a enfin
dl = ±da.
Supposons, par exemple, une portion d'arc sur laquelle les arcs croissent en même temps que les normales. On
aura
dl = rfff,
l — If^ = a (7„,
et cette dernière égalité exprime la propriété qu'il s'agissait de démontrer.
451. La notion de développante en résulte. Si l'on fixe un fil en un point d'une courbe gauche (F), et qu'on enroule le lil sur la courbe, puis qu'on déroule le fil en le tendant à chaque instant suivant une tangente, un point quelconque du fil décrira une trajectoire orthogonale des tangentes. Cette trajectoire est dite développante de la courbe (F), et (F) est une développée de cette développante. La démons-
(ration résulte encore de la formule (74). Ici, par hypothèse,
cos B'BA est infiniment voisin de zéro, f//=arc BB'; il en
résulte que cos A'AB est infiniment petit, c'est-à-dire que le déplacement de A est normal au fil AB.
452. Les normales qui enveloppent une développée décrivent, comme on sait, une surface développable. Le plan tangent à cette développable est le plan osculateur de la développée; mais la courbe gauche donnée (C) étant évidemment sur la développable, le plan tangent contient la tangente à (C). Cette tangente étant perpendiculaire au plan tangent de la surface polaire, le plan osculateur de la développée est normal à cette surface polaire. Donc /es cUveloppées sont des géodésiques (p. 430) de la surface j^olaire.
453. A l'étude des développées se rattache une intéressante question de minimum. Soit ^q, ijq^ Sq, un point P de Fespace; sa distance / au point M (.x-, y, :;) de la courbe gauche sera minimum, si son carré
p = ^a>- x,]-' + {tj - i/,f -\r {-^ - --„)■' = 'f (0,
a une dérivée nulle, par rapport au paramètre t
'Y {i) = (^-^ — ^o) '^•' + 'y — yo) y' + (- — -o) ^' = o. (75)
Mais il faut, de plus, que la dérivée seconde
r {t) = œ'-^ + y'^- + z^' + ix- X,) X" -f (y - y,) y" + [z - z,) z"
soit positive.
L'équation (75) exprime que le point M est le pied d'une normale issue de P. Supposons que, M restant fixe, le point P parcourt la normale en M, en partant du point M. Les binômes x — .Zq, // — //q, z — Sq, commencent par être très petits, et la dérivée seconde 'y'(^) commence par être positive : MP est donc minimum. Puis le point P, s'éloignant
dans la direction de l'axe de courbure, la fonction à" [t] s'annule au moment où le point P est sur l'axe de courbure, ou, ce qui revient au même, au moment où P est au point de contact C de la normale avec sa développée. 'V' (/) devient ensuite négative, et MP est un maximum au lieu d'être un minimum.
Mais il est essentiel de remarquer que le minimum, dont il vient d'être question, est un minimum relatif, c'est-à-dire par comparaison avec les chemins voisins. On peut même démontrer que la distance MP a cessé d'être un minimum absolu, avant que le point M ne soit arrivé au point G. Soit, en effet, une seconde normale M'C touchant la même développée au point C. 11 résulte des propriétés de la développée qu'on a
MC = M'C -h arc C'C ; donc
MC > M'C -f- corde C'C.
• Gomment la distance MP a-t-elle donc pu cesser d'être minimum? Gala n'a pu se produire évidemment qu'à un moment où, du point P, on a pu mener à la courbe gauche deux normales égales. Il convient donc, dans ce problème, de faire intervenir en môme temps que l'étude des développées celle des points d'où l'on peut mener à la courbe deux normales égales.
4:54. Un exemple éclaircira ce qui précède. Dans l'ellipse, la normale en M rencontre l'axe en H, avant son point de contact G avec la développée. Or le lieu des points du plan d'où l'on peut mener à l'ellipse deux normales égales se compose des deux axes. Donc, lorsque P sera entre M et H, PM sera un minimum absolu ; entre H et G, PM n'est plus le chemin le plus court; il n'est minimum que par rapport aux chemins iniiniment voisins. Enfin, au-delà de G, PM n'est plus minimum par rapport à aucun chemin.
Des conç|rueiices
455. Lorsque les équations d'une courbe contiennent deux paramètres
f[œ, y, z, a,h) =0 cp(.r, ?/, z, a,b) = o
on obtient, en faisant varier ces paramètres, une double infinité de courbes, dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle une congruence de courbes. Par un point de l'espace, il passe, en général, une ou un nombre limité de courbes de la congruence ; elles sont déterminées par les équations (76), où x, y, s, ont reçu des valeurs données.
Mais il peut arriver que, pour certains points, les deux équations (7Ô) se réduisent à une, ou même soient entièrement indéterminées; par exemple, dans la congruence des droites qui rencontrent deux courbes données, en un point P quelconque d'une de ces courbes, il y a une infinité de solutions : ce sont les génératrices du cône, de sommet P, qui contient l'autre courbe. Les cercles qui passent par deux points forment une congruence, telle qu'aux deux points il y a indétermination absolue.
Si les courbes de la congruence sont des lignes droites, la congruence est dite rectiligne, et lorsque, par tout point de l'espace, il passe une et une seule droite de la congruence, la congruence rectiligne est dite linéaire.
456. Dans le cas d'une congruence rectiligne et linéaire, en résolvant les équations (76) par rapport aux deux paramètres, on peut évidemment les mettre sous la forme
P +aQ= o, et l'on voit que toutes les droites de la congruence linéaire
s'ajijmient sur deux droites fixes, savoir
et
Il est évident, réciproquement, que toutes les droites qui rencontrent deux droites fixes, non situées dans un même plan, forment une congruence linéaire. On voit immédiatement que, dans tout plan, il existe une et une seule droite de la congruence, celle qui joint les traces des deux droites fixes sur le plan. Nous n'insisterons pas davantage sur les congruences linéaires qui ont été l'objet d'une étude méthodique, publiée par M. Fouret, à la suite de la traduction de la Géométrie du mouvement du D"" Sciiœnflies .
457. Revenons aux congruences rectilignes quelconques. Si Ton établit une relation entre les paramètres a et h, les droites correspondantes décrivent une surface, qu'on appelle une surface de la congruence. Nous allons démontrer que toutes les surfaces de la congruence, qui contiennent une même droite de la congruence, se touchent en deux points de cette droite.
Soient en effet
les équations d'une des droites, a, Xq, i3, y^^ dépendant des paramètres a et h ; de plus
L'équation différentielle de la surface engendrée s'obtiendra en différentiant les équations (77)
dx = a.dz -\- z dy = ^dz -(- z
^ clb da doL
dix da
db
da -\da -j-
da, da,
et en éliminant da. Le plan tangent à la surface s'obtiendra en remplaçant dx, dy, dz, par X — j-, Y — y, Z — :;. On trouve ainsi
Le second membre sera indépendant de ?'(«), si
dy. , dx.. dx , dxr.
da da db ' db
da "^ da " db ~^ db
Cette équation, du second degré en s, détermine, sur la droite de la congruence, deux points F et Fj, où se touchent toutes les surfaces de la congruence. On les appelle points focaux o\x foyers de la droite. Les plans tangents en ces. points, donnés par l'équation (78), oii 2, x^ y, sont déterminés par les équations (79) et (77), sont \q% plans focaux.
458. On retrouve les mêmes résultats autrement. Cherchons la condition pour que les droites (77) aient une enveloppe. La formule (49) devient ici
dxn -, , dxn ,,\ /V/8
da
é([uation du second degré homogène en da, db, d'ofi l'on tirera
fin da ' ^ '
On démontrera, dans le second tome, que chacune de ces équations détermine une fonction b de a, satisfaisant à la condition de prendre une valeur donnée pour une valeur
46 i CHAPITRE XVIII
donnée de «, c'est-à-dire de correspondre à une droite donnée. Donc toute droite de la congruence peut, de deux manières différentes, se déplacer de manière à décrire une développable; les surfaces, ainsi obtenues, sont les développables de la congruence. Elles se groupent en deux familles, suivant qu'on part de l'une ou l'autre des équations (81).
Considérons une des développables : son arête de rebroussement touchera la droite génératrice en un point A; je dis que ce point sera un des deux foyers, F ou F^. En effet, on a vu, n° 427, que le z du point A est donné par l'équation
dx^ da do
-r- da A- --Z du da do
et il suffit de remplacer :; par cette valeur dans l'équation (79), pour constater qu'elle se réduit à l'équation (80), qui est vérifiée par hypothèse.
459. D'ailleurs, on peut très bien se rendre compte géométriquement de ce qui vient d'être établi. Définissons d'abord la surface focale de la congruence : c'est le lieu des foyers, ou encore des arêtes de rebroussement des développables. Il y a bien, en apparence, deux nappes de cette surface focale, correspondant aux deux équations (81); mais il est évident qu'au point de vue analytique ces deux nappes se réunissent pour former une seule surface.
Cela posé, les droites sont toutes tangentes a ces deux nappes. Considérons une de ces droites D, et déplaçons-la de manière qu'elle reste tangente, en F, à l'arête de rebroussement, qui décrit la première nappe S; elle touchera aussi la seconde nappe Sj en F^. Le lieu de Fj, sur S^ sera une certaine courbe non tangente à D ; le plan tangent à la dèveloppable, le long de D, sera donc confondu avec le plan tangent à S^ en Fj.
Une surface S quelconque de la congruence, passant par D, touchera S^ en F^, puisque la droite qui engendre H
reste tangente à S|. Toutes les surfaces 2 se toucheront donc en F^; de même en F.
Coiig menées de normales
460. Les normales à une surface donnée forment une congruence ; car une normale est déterminée par son pied, dont les coordonnées dépendent de deux paramètres.
Les congruences de normales jouissent d'une propriété remarquable : pour chaque normale, les plans focaux sont pprpendiculaires . Soient en effet (n° 403)
les équations d'une normale. La condition, pour que cette droite engendre une surface développable, est (47)
dx — p (hj — q
dz 1
dp dq
ou, comme
dx -\- pdz dy -j- qdz
dp dq
dz ^= pdx -\~ qdy^ dp = rdx -\- sdy^ dq = sdx -j- tdy,
[s(l -f P') — PT"] d^' + [^(1 + p"^) — r(l -f- q^)\ dxdy
^{pql-s{'i^q'^]\dy'^ = 0. (84) .
Supposons les axes choisis de manière que la normale considérée coïncide avec oz, et le plan tangent à xoy \ on a alors
et l'équation (84) se réduit à
sdx- -(- {l — /•) dxdy — ad y- = o,
;iO
OU en divisant par dx"-
Cette équation définit deux directions dans le plan xoy\ ces deux directions sont rectangulaires, et, comme elles forment le rectiligne du dièdre des plans focaux, le théorème est démontré.
461. Nous allons montrer que la propriété précédente caractérise bien les congruences de normales. Pour cela, il faut déterminer à quelles conditions une congruence rectiligne quelconque peut devenir une congruence de normales.
Il faut et il suflit qu'un point de la droite donnée (77) puisse décrire une surface trajectoire orthogonale ; autrement dit qu'on puisse déterminer, en fonction des paramètres arbitraires « et è, les coordonnées d'un point de la droite, de manière que
(xdx -\- ^dy -\- ydz = o,
OU, en tirant x et y des équations (77), que
(a^ -f 6^ -f 1) rf^ + - {^dT. -f pc/p) + occ^^o + P^^yo = 0-
Elïect lions le changement de variables
nous obtenons la nouvelle équation
Supposons, pour simplifier l'écriture, que les paramètres indépendants sont précisément Xq et 7/^; le second membre de (85) ne pourra être une différentielle exacte que si
Telle est la condition cherchée. Elle n'est pas vérifiée identiquement, ce qui montre, de nouveau, que des droites remplissant l'espace suivant une loi arbitraire n'ont pas de surface orthogonale. Mais, si l'on a trouvé des fonctions satisfaisant à la condition (86), l'équation (85j déterminera, à une constante près, une fonction p et, par suite, ;, et un point de la droite (77) décrivant une surface normale. La condition est donc nécessaii'e et suffisante. Elle exprime, comme nous allons le vérifier, que les deux plans focaux sont rectangulaires.
D'abord, pour que la droite donnée ait une enveloppe, il faut et il suffit (n« 427) que
cl^\d^ — dy^/Ix = o, (87)
ou que
Cela posé, uq plan passant par la droite, qui a pour équation
.r — xz — Xq — 1 {y — bz — y,,) = o (89)
sera focal, s'il contient le point infmiment voisin .r -f- dx, y -\- dy, z -\- dz, ce qui donne la condition
zdx -f dà\^ — l[zd'?> -|- dy^) = o,
d'oi^i l'on tire
ou, l'U tenant compte de (87),
Dans cette équation, -— est une racine de (S^). Soient donc X et )/ les deux racines de i^8S) ; li;s deux pians focaux
correspondants seront perpendiculaires si
L'équation (88) fournit immédiatement les valeurs de aX' et de À + a'; en les portant dans la dernière égalité, on retrouve la condition (86). Il est donc démontré que la propriété des congriiences de normales, d'avoir leurs plans focaux rectangulaires, est bien caractéristique.
461^. Considérons la surface focale d'une congruence de normales ; elle se compose de deux nappes S et Sj. Les arêtes de rebroussement d'une des familles de développables de la congruence seront sur la première nappe S ; celles de l'autre famille sur la deuxième nappe Sj. Le plan focal au foyer F, situé sur S, se confond avec le plan tangent en Sj, et le second plan focal est le plan tangent en F à S; mais, comme ces deux plans sont rectangulaires, le premier est normal à S, et comme il est le plan osculateur en F de Tare te de rebroussement tracée sur S, cette arête est une ligne géodésique de S. Ainsi les arêtes de rebroussement des développables d'une congruence de normcdes sont des lignes géodésiques de la surface foccde.
Réciproquement, supposons tracée sur une surface quelconque une famille de lignes géodésiques. Les tangentes de ces courbes forment une congruence. Je dis que cette congruence est une congruence de normalçs. En effet les plans focaux d'une tangente sont évidemment le plan tangent à la surface et le plan osculateur de la ligne géodésique, et ces deux plans sont rectangulaires par définition.
463. Les congruences reclilignes, comme d'ailleurs les congruences quelconques dont nous dirons plus loin quelques mots, ont été l'objet de nombreux travaux exposés dans les remarquables Leçons de M. Darboux sur la géométrie des surfaces, auxquelles nous ne pouvons que renvoyer le lecteur. Nous emprunterons cependant encore à cet auteur la démons-
tration d'un célèbre théorème dû aux efforts combinés de Malus, Dupin, Gergonne et Quételet.
En voici l'énoncé : Si des rayons lumineux sont normaux à une surface^ ils ne cessent pas de conserver cette propriété après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions.
Démontrons d'abord un lemme : Soient
les équations d'une droite de la congruence, et u, v, w ses cosinus directeurs.
En posant dans l'égalité (85),
