X -■= ic\Jx^ -f- f -f
B = V Va^ + p2 -I- 1,
on voit que le théorème fondamental de cette théorie peut s'énoncer ainsi : « Pour que les droites (90) soient normales à une même surface S, il faut et il suffit que
udx -\- cdy -\~ icdz^
soit la différentielle exacte d'une fonction dos doux variables dont dépend la congruence. x, y, z sont les coordonnées du pied de la normale sur la surface S. »
Cela posé, sur le rayon incident, portons une longueur MA = 1 et, sur le rayon réfracté, une longueur MB = n, n désignant l'indice de réfraction. La loi de Descaries consiste en ce que la résultante géométrique MG des deux vecteurs MA et MB est normale à la surface
d iri mante ; en effet, dans le triangle MB(], on a
BC MB
sinBiVlC ~ siuiMCB ou
s'iïïi = n sinr.
Si l'on appelle / la longueur MG, a, 3, t^ u, v, w, u\ v\ w\ les cosinus directeurs de la normale à la surface, du rayon incident et du rayon réfléchi, le théorème des projections appliqué au parallélogramme AMBG donnera
2n . MC = pr . MB + pr . MA,
c'est-à-dire
Irj, z=z nu' -\- U,
Xp = nv' -\- u, Xy = mo' -\- w.
Or, pour tout déplacement du point M (^, y, z) sur la surface dirimante, on a '
(ïxlx -f- ^jdjj -)- ^dz = G,
ce qui peut s'écrire, en éliminant a, (3? Y ^u moyen des équations précédentes,
udx -\- vdy -f- icdz := — ■ n [u'dx -\- v'dy -\- lo'dz).
Si les rayons incidents sont normaux à une surface, il résulte du lemme que le premier membre de cette égalité sera une différentielle exacte ; il en sera donc de même du second, ce qui démontre le théorème.
Le cas de la réflexion s'obtient en faisant n =r= — 1 ,
Conç/rueiices de courbes
4:64. On peut étendre aux congruences de courbes les considérations que nous avons développées relativement aux congruences rectilignes.
Soient
les équations d'une courbe de la congruence. Définissons une surface de la congruence par la relation
Le plan tangent à cette surface en un point x, y, s, sera défini par l'équation, analogue à (78) :
^ dx -\- ^ dy -{- -^ dz ^ + ^ F ia) ^x ' ?v -^ ^ ^z ^a ^b ^ '
<)co
zr^ dx -\- :^ dy -\- ''■r^ dz ^ -f- ^ F' {a) ^x ^v -^ -^z ^a ^b ^ '
On peut remarquer en passant que cette équation contient implicitement le théorème suivant : Si Ion considère quatre surfaces quelconques contenant une même courbe de la congruence, le rapport anharmonique des plans tangents à ces surfaces en un point quelconque de la courbe demeure constant quand le point se déplace sur la courbe.
Mais l'équation à^x plan tangent conduit, au point do vue oîj nous nous sommes placés, à une conséquence bien plus importante. En effet ce plan tangent devient indépendant de F' («), et toutes les surfaces de la congruence qui passent par la courbe considérée sont tangentes entre elles aux points de la courbe pour lesquels on a
ou
ib
la
Ih
Ces points sont dits les points focaux, et le lieu de ces points est la surface focale de la congruence.
465. On retrouve les points focaux en cherchant à assembler les courbes de la congruence, de manière qu'elles aient une enveloppe. En efï'et le point de contact d'une courbe avec son enveloppe doit satisfaire aux équations de la courbe
/■ ^ O, tp = G
et à ses dérivées par rapport à a
^a ^b dû ' ^a ^b (la
L'élimination de -tt conduit de nouveau à l'équation (92).
On voit ainsi que les points focaux sont les points de contact des courbes de la congruence avec leur enveloppe, dans les différents modes de déplacement où ces courbes ont effectivement une enveloppe. Chaque point focal de la courbe décrit une nappe de la surface focale, et l'on voit, par un raisonnement identique à ceux que nous avons déjà faits dans la théorie des enveloppes, que cette surface focale a précisément pour plan tangent le plan tangent commun à toutes les surfaces de la congruence. En effet, pour avoir ce plan tangent, il faudrait différentier totalement les équations de la courbe donnée et (92), puis éliminer da et dh ; mais il suffit de différentier les deux premières et d'éliminer da. db s'élimine d'elle-même en vertu de (92), et l'on retombe bien sur l'équation (91).
466. Si f[x, y, :;, «, b) est algébrique du degré m, o du premier degré, l'équation (92) est de degré m + 1, et l'on voit que, dans une congruence de courbes planes d'ordre m, il y a en général sur chaque courbe 7n [m + 1 ) points focaux.
Ainsi, dans les congruences rectilignes, il y a deux foyers sur chaque droite, dans les congruences de coniques six points focaux sur chaque conique, dans les congruences de cercles, qui admettent les points cycliques comme points focaux, quatre points focaux sur chaque cercle, etc.
Nous donnerons, dans le chapitre suivant, l'extension aux
congruences quelconques de la propriété caractéristique des congruences de normales. Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet, renvoyant le lecteur à l'ouvrage de M. Darboux, pour l'étude des cas oii quelques points focaux sont confondus, ainsi que pour l'étude des congruences de cercles.
Des complexes
467. Nous avons examiné successivement les systèmes de droites qui ne dépendent que d'un paramètre ( génératrices d'une surface réglée), ceux qui dépendent de deux paramètres (congruences). 11 nous reste à envisager ceux qui dépendent de trois paramètres et qui constituent ce qu'on appelle des complexes. Ici, par un point donné de l'espace, il passe encore une infinité de droites dont le lieu géométrique s'appelle le cône du complexe ; le degré de ce cône, lorsqu'il est algébrique, est Xorclre du complexe. De même, dans un plan donné, il y a encore une inimité de droites ; ces droites enveloppent la courbe du complexe relative au plan. La classe de cette courbe est égale à l'ordre du complexe : en effet, soit P un point du plan ; le nombre des droites du complexe qui passent par ce point et qui sont dans le plan s'obtiendra soit en menant du point des tangentes à la courbe du complexe, soit en coupant par le plan le cône du complexe qui a son sommet au point P.
468. Pour étudier commodément les complexes, il est bon de mettre les équations de la droite sous une forme symétrique, considérée d'abord par Plûcker. Les trois plans
