P — VJ
v.r — <xz = fi' ^93)
ay — fi,- = y' )
passeront par une môme droite D, si
xa' -f ,8|i' -\- yy' = 0. (94)
Les équations (93) sont celles de la droite D, et les six constantes a, (3, y, a', |3', y' sont dites les coordonnées Plucki'riennes ou, plus simplement, les six coordonnées de la droite. A cause de (94) et parce qu'elles figurent dans toutes ces équations d'une manière homogène, elles se réduisent au fond à quatre, comme cela doit être.
469. Les droites D feront partie d'un complexe, s'il existe entre leurs coordonnées une relation homogène
/•(a, B, y, tx', B', y') =. o. (9o)
Pour obtenir une surface du complexe, il faudra joindre à la relation précédente deux nouvelles relations
Si l'équation (95) est algébrique, son degré sera égal à l'ordre du complexe. Enelfet, soient a:o,yoi -^O' ^^-^ coordonnées d'un point M quelconque, on voit sans peine que l'équation du cône du complexe, qui a son sommet en M, s'obtient en remplaçant a, iS, y, a' ..., parles quantités proportionnelles
L'équation du cône est du môme degré que (95), ce qui démontre le théorème.
470. L'équation (95) permet d'établir très simplement une relation homographique entre les points d'une droite D du complexe et des plans passant par cette droite. Soit inwn point de D; le côue du complexe qui a son sommet en m contient D, et nous prendrons le plan P tangent à ce cône le long de D, comme correspondant à m. La courbe du complexe située dans (P) touche évidemment D en m. Inversement, dans un plan (P) pissant par D, il existe une courbe du complexe touchant D en un point m, et le cône du complexe qui a son sommet en m est évidemment tangent à (P),
le long de D. La correspondance homographique entre (P) et m est don€ bien établie. Si l'on considère une origine fixe 0 sur D et si l'on pose om = p, si, d'autre part, on appelle 6 l'angle que fait avec un plan fixe passant par D le plan (P), la relation homographique sera de la forme
p tang'ô -|~ ^"^P + ^ tarig 9 -\- c ^ o, ou
(p + b) (tang e + a) + c — r/i = o, (97)
«, 6, c sont des constantes qui dépendent de la position de D. Un cas singulier se présentera si
ah — c = o ;
cette nouvelle relation ajoutée à la relation (95) particularisera la droite et il y aura une congruence de pareilles droites. On les appelle les droites singulières du complexe. Sur ces droites, la relation (97) se réduit à
(p -f- b) (tang^ -|- (7) = 0.
On voit alors que, quel que soit p, 0 est constant; à tous les points d'une droite singulière, sauf au point p = — h, correspond un plan Ç\xe, qui est un plan singulier. Inversement, a tout plan passant parla droite singulière, sauf au plan singulier, correspond un seul point p = — h : c'est un point singulier. Les coordonnées du point singulier ne dépendent que de deux paramètres ; il y a donc une surface des singularités du complexe, lieu des points singuliers. De môme les coefficients du plaii singulier ne dépendent que de deux paramètres; ces plans enveloppent donc une nouvelle surface. Mais il se trouve que cette surface coïncide avec la première (Voir, pour la démonstration, la note déjà citée de M. Fouret, au n" 456). Cette surface est une des nappes de la surface focale de la congruence des droites singulières.
On peut encore remarcjuer que toutes les surfaces du complexe <|ui contiennent une droite singulière sont tangentes
entre elles au point singulier de cette droite. Mais nous arrêterons ici ces considérations sur les complexes quelconques, renvoyant, pour ydus de détails, à la note de M. Fouret, et nous terminerons par l'exposé de quelques propriétés des complexes linéaires.
471. Complexes LINÉAIRES. — On appelle ainsi les complexes pour lesquels l'équation (95) est de premier degré :
Aa + Bp 4- Cy + A'a' + B'p' + C'y' = 0. (98)
Le cône du complexe
A{œ- œ,) + ... + A' {zy, - yz,) + ... = o (99)
est ici un plan qu'on appelle le p/an polaire du point.
Une discussion simple montre que ce plan est parfaitement déterminé pour tous les points de l'espace à moins que
AA' + BB' + ce --= o. (100)
Dans ce cas exceptionnel, il existe une droite singulière, lieu des points dont le plan polaire est indéterminé ; le plan polaire de tout autre point est déterminé par ce point et par la droite singulière et le complexe, qu'on appelle dans ce cas complexe spécial, se compose de toutes les droites rencontrant la droite singulière.
Laissant les complexes spéciaux de côté, cherchons, dans les complexes linéaires quelconques, l'enveloppe des droites du complexe situées dans un plan quelconque. Cette enveloppe, étant de classe w?, se réduit à un point qu'on appelle le pôle ou le foyer du plan.
Considérons encore les droites du complexe qui rencontrent une droite L quelconque ne faisant pas partie du complexe. Tout plan passant par L aura un foyer non situé sur L, puisque L ne fait pas partie du complexe ; je dis que le lieu de ces foyers sera une droite L'. En effet soient F et F' deux foyers : un plan rs quelconque passant par FF' aura pour foyer son point/ de rencontre avec L; car les droites /F et
/F' font partie du complexe. Mais alors, en joignant / à un point quelconque F" de FF', on a encore une droite du complexe, et si l'on fait pivoter le plan cj autour de FF', la droite fV" décrira un plan quelconque passant par L et dont le foyer sera en F'. Les deux droites L et L' qui contiennent chacune les foyers des plans passant par l'autre sont dites droites conjuguées.
47-2. La théorie des complexes a de nombreuses applications en mécanique. Ainsi, dans un système de forces appliquées à un corps solide, les droites de moment nul forment un complexe linéaire; dans le mouvement d'un solide, les droites normales aux trajectoires de tous leurs points font partie d'un complexe linéaire, etc.
Définitions
473. Les coordonnées d'un point quelconque d'une surface S dépendent de deux paramètres arbitraires qui peuvent être, si Ton veut, deux de ces coordonnées. Pour plus de symétrie, nous ne fixerons pas, dès l'abord, ces deux paramètres, que nous désignerons par ies lettres u et v^ et nous écrirons
Lorsqu'on voudra revenir à la forme ordinaire, il suflira de faire u=x, r = //; il en résultera que /^ devra être remplacée par x, et f., par y. Nous poserons, pour abréger,
i^n lIV 'du do du dv du do i
dlC dv du dv du dv du dv I '"'
du dv du dv du do du dv ]
ces binômes devant se présenter fréquemment dans nos formules.
Si V = G^% les équations (1) définissent une courbe tracée sur la surface (S). Lorsqu'on fait varier v, on a une famille
de courbes. Il y a, de même, sur la surface S, une famille de courbes u = C'^ Ces deux familles découpent sur la surface un réseau [ii, v). Si l'on a en chaque point de la surface
CIA ov oîc ôv ' On ov ' ^
le réseau est orthogonal; les tangentes aux deux courbes en chaque point se coupent à angle droit.
Une courbe quelconque, tracée sur la surface, s'obtiendra en joignant aux équations (1) une nouvelle équation entre u et v; j-, y, :;, deviennent alors fonctions d'un seul paramètre.
Pl«ii tantjciit et noi*mnïe
474. Il importe de savoir écrire, avec les notations actuelles, l'équation du plan tangent. Pour cela, il suftira d'exprimer que le plan
/ (X - X) + m (Y -ij)^n{Z-z) = o,
qui passe déjà au point .r, y, :;, passe aux deux points infiniment voisins pris sur les courbes (u) et [v), points qui ont pour coordonnées respectivement
a,' -f- r— dv, V + v^ d/o, z 4- ^— dv\
on a ainsi les conditions
ou OH ' ou
Xr ^,j ^-
/ .- + vi -^ 4- ;; -^ = o, ov ov ov
d'où, en éliminant /, m, n, et se servant des notations (2), A(X-^')+B(Y-t/) + C(.'-.-) = o. (4)
Les équations de la normale seront
Rappelons que, si x et y sont prises comme variables indépendantes, les équations ci-dessus sont respectivement , pour le plan tangent,
Z-z=p{)i-cc)-YqÇi-y), (fi)
et pour la normale
Y - 2/ + ry (Z -,..) = o i ^ ^
Réseaux conjugués
«475. Lorsque les génératrices de la surface développable formée par les plans tangents le long d'une courbe k = C' sont les tangentes aux courbes v =■ C'% et lorsque cela a lieu en chaque point de la surface, le réseau [ii, v) est dit conjugué ; on verra plus loin la raison de cette dénomination. Cherchons la condition pour qu'il en soit ainsi.
La caractéristique du plan tangent
lorsque v varie, s'obtient en adjoignant à l'équation précédente sa dérivée, par rapport à v
Du ^V c^U
La somme des trois derniers termes étant nulle identi-
quement, il reste, pour équations de la caractéristique,
Cette droite doit, par définition, contenir le point x A- -y- du,
du
y-rfju.z
dz
, di\ ce qui donne deux conditions dont la première est identiquement vérifiée ; la seconde est
On vériliera facilement que cette dernière condition peut s'écrire
hA
dv
Sous cette forme, on voit qu'il y a symétrie entre ii et r, c'est-à-dire que les caractéristiques des plans tangents, le long des courbes v = 0\ se trouvent, par la même condition, tangentes aux courbes u = G'". Ce théorème est dû à Dupin.
Les réseaux qui sont en môme temps conjugués et orthogonaux ont une importance capitale dans l'étude des surfaces.
ii70. On sait que, si un détenninaut est nul, il existe une même relation linéaire entre les éléments d'une colonne, quelle que soit la colonne. Il existe donc, puisque le déterminant (9) est nul, deux fonctions x et 3 de i( et de /' telles
CALCUL INFINITKSIJML.
que
en d'autres termes, si le réseau [u, v) est conjugué, les trois coordonnées d'un -point de la surface, exprimées en fonction de u et de v, vérifient une même éciuation linéaire de la forme
ouùv ou ' ov
La réciproque est vraie ; car l'élimination de a et de [3 entre les trois équations du système précédent donne Téquation
A ce point de vue, la condition pour que le réseau soit
en même temps orthogonal s'exprime ainsi : la fonction
— — '-h: est aussi solution de la même équation linéaire.
En effet, en substituant, dans Téquation aux dérivées par-
tielles précédente, -^ —^ et en tenant compte de ce
que X, y, 2, vérifient cette équation, on trouve
^x t)a.' ^y 'dy 'bz 'bz
c'est bien l'équation (3) qui exprime l'orthogonalité des tangentes aux courbes u = G'% v = G'^
Élément d'arc tl'iine courbe tracée sur la surface (S)
477. La distance de deux points infiniment voisins pris sur la surface s'obtient par la formule
ck^ = dx^ + dy^ + dz'\
dans laquelle il suffit de remplacer ./:, y, :-, par leurs valeurs tirées de (1). On obtient ainsi, en posant avec Gauss,
«=(^y+(iy+fêv
ds'^
Eda^-^'^Fdi{dv-\- GdvK
On peut obtenir une autre expression de ds^ par des considérations géométriques : soient MN, MP, deux courbes [ii) et [v) se coupant en M sous l'angle a. Soient encore MM' =Aûfz^, MM" = Cdv^ les éléments d'arcs des courbes [u) et [v), MM" = f/.s, un élément de courbe quelconque infiniment voisin de M. On peut, aux intiniment petits du troisième ordre près, assimiler le triangle MM'M" à un triangle rectiligne et écrire
ou
M'M"' = MM'' + MM"- — 2MM' . MM" ces a,
ds- — \-dii- 4- C-dv- — 2AC ces a dudv. (11') C'est, avec d'autres notations, la formule (11); du rappro-
chemeiit des formules (11) et (11), on déduit immédiatement ^
