MM
Il en résulte immédiatement qu'une courbe quelconque a la même courbure que la section faite dans la surface par
1 II importe de ne pas confondre les A et G actuels avec les lettres A, B, G, définies au n° 473 ; ces dernières sont telles que
A'^ + B'-i + G-^ = EG — F2.
son plan osculateur puisque ce plan est déterminé par la tangente en M et par le point M'.
Pour continuer, nous particulariserons les axes, et nous prendrons pour plan des x^ y, le plan tangent en M, pour axe des z, la normale en M. En supposant que x ei t/ sont les variables indépendantes, et que z peut se développer en série suivant la formule de Maclaurin, l'équation de la surface se présentera sous la forme ^
z ^ i {ay^ + ^.b.xy + cy^) + R {x, y), (13)
R{x, y) contenant des termes qui seront, au moins, du troisième degré en x et y. Abaissons du point M' la perpendiculaire M'P, sur la tangente en M, et la perpendiculaire M'm' = :; sur le plan langent en M; ces deux droites font entre elles l'angle y égal à l'angle du plan osculateur de la courbe avec le plan de la section normale, qui contient la même tangente MT. On a d'une part
MM'' = jf- + 2/-^ + ^- ou ..r^ + y^
en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second. D'autre part
z 1 [ax^ -\- °l.hxy ■\- cy-)
COS y 2 ces y
>, ^yn -^ '- ^^■^ ~r -'^•^.y -1- ^;j ;.
Il en résulte pour p la valeur
p = 7 ^ — \ — i \ ?T ces y.
Mais m' est à une dislance de P infiniment petite du second ordre, et la direction M;;?' se confond avec celle de la
' Il résulte de ces hypollièses que la théorie exposée dans ce numéro, pas plus d'ailleurs que les résultats obtenus jusqu'au n° 296, ne s'appliqueront aux surfaces qui ne remplissent pas les conditions énoncées, telles, par exemple, que
z = x^ + y--\ ou
tangeiile MT, à la limite, c'est-à-dire que, si l'on appelle ^
on aura
y z= X tang ce ;
l'angle de MT avec ojr, on aura
d'oii
P = 5 ; — TTi — = ; ^~r~ cos y.
a cos- cp -|- z6 sin cp cos o -\- c sin- <^ '
Appelons pq le rayon de courbure de la section normale qui correspond à y = o, on aura
' " a cos- cp -\- '±b sin cp cos --sj -\- c sin- cp et
c = Pp cos y. (15)
Donc, le centre de courbure en un point q^ielconqiie d'une courbe tracée sur la surface s'obtient en projetant^ sur son p/an oscillateur, le centre de courbure de la section normale qui a la même tangente au point considéré.
On peut encore dire : Si l'on fait pivoter un plan autour d'une tangente à la surface, le lieu des cercles de courbure des sections faites par le plan dans la surface est une sphère qui a pour grand cercle le cercle de courbure de la section normale.
Ou encore : Si l'on fait pivoter un plan autour d'une tangente à la surface, les axes de courbure des sections faites par ce plan dans la surface vont rencontrer la normale à la surface en un même point, qui est le centre de courbure de la section normale.
Ces divers énoncés sont des formes différentes du théorème de Meusnier.
479. Le théorème d'Euler permet enfin de ramener l'étude des courbures des sections normales à celle des courbures de deux d'entre elles.
Remarquons d'abord que la formule (14) peut être simplifiée par un changement d'axes. Si l'on fait tourner les axes ox, oij, dans leur plan, d'un angle a, et si l'on pose
cp = •!/ -|- a,
on pourra toujours déterminer a de manière que la nouvelle expression de pq ne contienne plus de terme en sin -i cos -i, et se présente sous la forme
Po "^Àcos^-I^ + C sin^'/ ^^^^
Il suffira pour cela de poser
tang 27.
ce qui détermine pour l'angle a deux directions perpendiculaires entre elles.
Gela posé, écrivons
Po=A + (C- A) sin^'f' ^^'^^
Lorsque <b varie de o à tt, la variation de pq est facile à suivre : deux plans symétriques, par rapport aux plans de coordonnées, donnent la même valeur pour pq; il y aura un maximum et un minimum entre lesquels, ou en dehors desquels, suivant les cas, seront comprises toutes les valeurs de Pq.
Si A et G sont de même signe, pQ variera entre le maximum et le minimum, R et R^, qu'on atteindra, pour à ^^ o
et pour à
et le rayon de courbure ne deviendra jamais infini. La surface est dans le voisinage du point M tout entière du m'^me côté de son plan tangent.
Si A et G sont de signes contraires, p,, variera du maximum jusqu'à — 00, et de + oo jusqu'au minimum; le maximum et le minimum seront d'ailleurs toujours donnés par les formules (18). Le rayon do courbure sera inlini, et la section normale présentera un point d'inilexion au point M,
pour les valeurs de d» données par l'équation
tang .} = ± y/- ^ = ± y/- |, (19)
ce qui donne deux directions symétriques, par rapport aux axes. Ces deux directions sont les tangentes à la section de la surface par son plan tangent ; en effet, après le changement de coordonnées que nous avons effectué dans le plan des jy, l'équation (13) de la surface (S) est devenue
.- = |(AX-^-t-CY2) + R'(X, Y),
R' (X, Y) étant une série dans laquelle les termes sont au moins du troisième degré en X et Y; si l'on y fait 2=0, on obtient l'équation de la section par le plan tangent, qui a pour tangentes à l'origine les deux droites
AX2 -f CY-^ = G.
Ce sont bien les droites définies par l'équation (19).
Dans le cas actuel, toutes les sections normales, comprises dans deux angles opposés par le sommet formés par les droites précédentes, tournent leur courbure, dans le voisinage de M, d'un même côté, par exemple, vers les z positifs ; les sections normales comprises dans les deux autres angles tournent leur courbure vers les s négatifs, et la surface traverse son plan tangent. On dit, dans ce cas, qu'elle est à courbures opposées.
Dans tous les cas, les rayons de courbure maximum et minimum sont dits rayons de courbure principaux de la surface, les sections normales qui les donnent, sections pidncipaJes^i et, en introduisant ces layons de courbure principaux dans la formule (16), elle prend la forme élégante
qui est due ù Euler
Nous signalerons deux cas particuliers : 1° A = G ou R = Rj.
Dans ce cas pQ = R constamment, le point M prend le nom à' ombilic.
2" AC = o. Dans ce cas, il n'y a plus qu'un maximum (ou un minimum) et qu'un rayon de courbure infini, qui est maximum (ou minimum). Le point de la surfac<^ csl dit point parabolique.
480. La connaissance des centres de courbure principaux permet d'élucider un problème de maximum, dont il a déjà été parlé.
Soit P un point de la normale Ms à la surface (S); cherchons le point .r, y, 2, de la surface, le plus rapproché ou le plus éloigné de P. "Si Z désigne le segment MP, on aura, les coordonnées ayant toujours M pour origine,
T = MP' = x^ -h y' + (L — zY ,
et, pour que T soit un minimum, il est nécessaire que ses dérivées, par rapport à x et y, soient nulles
- Tj; = ,•/■ — P (Z — ^) = 0,
ou, en négligeant ; infiniment petit devant Z,
œ — p'A = o, y — qZ = o.
Comme p et q sont nuls à l'origine, il en résulte x = 0, // = o.
Il faut, de plus, que l'on ait
Si l'on suppose les tangentes aux sections principales prises pour axes des x et des y, s= o à l'origine, et l'inégalité précédente s'écrit
— (1 — rT] (1 —fZ) <o,
OU encore en introduisant les rayons de courbure qui sont donnés par les formules
oij r et t ont leurs valeurs à l'origine des coordonnées
RR
Deux cas sont donc à considérer :
1° La surface est convexe en M
RR^>o.
La condition précédente exprime que le point P ne doit pas être compris entre les centres de courbure principaux. Ainsi si Ton suppose le point P partant de M vers les centres de courbure principaux, sa distance au point M sera d'abord minimum, parmi toutes les distances aux points infiniment voisins de M ; lorsque P se trouve entre les deux centres de courbure principaux, MP est plus grand que certaines distances voisines, et plus petit que d'autres ; en d'autres termes, la sphère de centre P et de rayon PM traverse la surface (S) en M, qui est un point double de l'intersection. Enfin, lorsque le point P a dépassé le second centre de courbure principal, PM est maximum parmi les droites qui vont de P aux points voisins de M. Sur la portion de normale située de l'autre côté du point M, par rapport aux centres de courbure, PM est minimum en valeur absolue.
2° La surface est à courbures opposées
RR^ < 0
Les résultats sont renversés, et la distance MP n'est un minimum ([ue si P est compris entre les centres de courbure principaux.
481. Il résulte du paragraphe précédent un moyen de déterminer les rayons de courbure principaux, les axes de coordonnées étant quelconques (nous les supposerons seulement rectangulaires).
Soient x, y, r, les coordonnées du point M, et X, Y, Z, celles du point P
MP- = ï = (X - xf -f (Y - yf -f (Z - z)\ Pour qu'il y ait maximum, il faut que
ce qui exprime que P est sur la normale en M; il faut de plus que l'on ait
[TLif - t^t;> < G, (22)
et l'équation aux centres de courbure principaux sera, à cause de l'invariance évidente du binôme précédent,
Or
^^xy^M—^ (^^ — -),
Donc l'équation, qui donne les Z des centres de courbure principaux, sera
(Ti^)2 - T^.T;;. ^^ {s' - r() (A - z)-^ \
- ['ipqs - /, (l -h p^) - r (1 + q'^)] (Z - z) • (24)
— 1 — jr — q- = o )
Si l'on tient compte des équations (21), l'on a
T = {i -}- p-^ + q') [Z - zr\ ou
