T MP

L'équation aux rayons de courbure principaux s'écrira donc

(s2 rt) MP' + [(1 +p2) ^-j- (1 + q-) r — 2pçs] VI +p2 { ^2MP

Nous donnerons plus loin une seconde méthode pour former cette équation. Mais nous remarquerons immédiatement que, si le point est parabolique, on doit avoir s*- — ri = 0. Cette équation, jointe à celle de la surface, donne la ligne des points paraboliques.

48ii. Il est possible de déterminer les directions principales en s'appuyant sur ce qui précède. En effet, la sphère de centre P et de rayon PM coupe la surface, avons-nous dit, suivant une courbe qui a, en M, un point double à tangentes distinctes, réelles ou imaginaires. Ces tangentes s'obtiendraient de la manière suivante : écrivons T(a:, y) la fonction que nous avons jusqu'à présent désignée par la lettre T, et développons-la par la formule de Taylor

T ix 4- A, 2/ + b) = T (.r, y) + AT.i -f JiY ',,