A^TL+2MT,^,,4-A^T

S'il y a maximum ou minimum, T^ = o, T,^ = o, et la différence ^{x-^ A, y -1- k) — (T,r, y) a le signe de

saut pour les deux directions obtenues, en égalant à zéro

LIGNES TRACÉES SUI! LES SCI{FAL:I-:s 493

cette dernière parenthèse. Ce sont les directions suivant lesquelles il faut s'éloigner dans le plan tangent pour que la distance MP ne soit ni maximum, ni minimum, par rapport aux distances voisines. Ces directions sont, en général, distinctes; mais si l'équation (23) est vérifiée, c'est-à-dire si le point P est en un des centres de courbure principaux, ces directions se confondent avec une des tangentes aux sections principales. La parenthèse qui vient d'être considérée étant un carré parfait, on a dans ce cas

hT^. + /^T;, = 0, c'est-à-dire

[1 -|- p- — r (Z — :)] rlr -\- \ pq — s (Z ~ z)] dy = 0.

En tirant Z — :; de cette équation, et portant dans l'équation (24), on aura une équation homogène du second degré en dx., dy, qui donnera dans le plan tangent les directions principales. On trouve ainsi, après suppression du facteur

[(1 -f- p2) S— pqr] dx> -\-[[\-\- p-]t — {V ^ q^) r] d.cdy

-^ [pqt — (1 -f- q-) s] dy' = G. (26)

Indîcatiûce

45Î3. Des considérations ingénieuses, dues à Dupin, permettent de synthétiser les résultats précédents et d'en présenter de nouveaux sous une forme simple. Coupons la surface par un plan parallèle au plan tangent en M et infiniment voisin de ce plan. La section s'obtiendra en faisant z =z h dans l'équation (13); on trouve ainsi, en négligeant les termes du troisième ordre,

h =- (ax'^ -f- '2b.ry -\- cy'\. (27)

Cette courbe est une conique; rapportons-la à ses axes en faisant tourner les axes de coordonnées de l'angle a, déjà défini plus haut par la formule (n" 477)

tang: 2a ^ —

L'équation devient

h = AX2 -f cy2,

les coefficients ayant les mêmes valeurs que dans les paragraphes précédents. La conique homothétique de la précédente, située dans le plan tangent en M, et qui a pour équation

± 1 =r AX2 -^ CY2,

s'appelle Vindicatrice de Diipin. On voit déjà que ses axes coïncident avec les tangentes des sections principales et qu'elle sera une ellipse dans le cas d'une surface convexe, une hyperbole dans le cas d'une surface à courbures opposées. L'indicatrice devient un cercle aux ombilics; elle dégénère en deux droites parallèles, symétriques par rapport au point M, pour un point parabolique.

Le signe ambigu, qui figure dans le premier membre, permet de s'arranger de manière à avoir toujours une courbe réelle, si la surface est réelle, c'est-à-dire si la surface admet, dans le voisinage du point M, des sections réelles. On peut, par exemple, convenir de toujours donner au premier membre le signe de A. Soit A positif; nous écrirons donc