AX2 + CY
Prenons maintenant des coordonnées polaires, le pôle étant en M, et l'axe polaire confondu avec MX. Il faut poser
X = X cost]/, Y ^ X siii'l.
ce qui donne, pour le rayon vecteur X,
A cos^ •\) -\- C sin^ •]>
En rapprochant cette équation de l'équation (16), on voit que les rayons de courbure des sections normales sont proportionnels aux carrés des diamètres déterminés par les traces de leurs plans dans l'indicatrice. La variation de ces rayons de courbure en résulte immédiatement. Dans le cas de l'ellipse, le rayon de courbure maximum est celui de la section tangente au grand axe de l'indicatrice; le rayon minimum correspond au petit axe. Si l'indicatrice est une hyperbole, il faut, pour les sections normales qui ne rencontrei'aient pas cette courbe, la remplacer par l'hyperbole conjuguée.
484. La propriété précédente de l'indicatrice peut être établie par les considérations géométriques très simples qui suivent. Soit MN la normale en M à (S),. MM' A une section
normale, MM'N le cercle qui a pour limite le cercle osculateur, M'H la perpendiculaire à MN menée par le point M'infiniment voisin de M. M'H est un rayon de l'indicatrice. Or, dans le cercle MM'H, on a
M'H' = MH X HM = h (2p — h).
On en tire
OU, aux infiniment petits du premier ordre près,
WÛr
Le rayon de courbure p^ est donc proportionnel à M'H\
4r85. Soient deux sections normales correspondant à deux
directions rectangulaires à et à -{- '^'i les diamètres X et \' de
l'indicatrice, ou les rayons de courbure de p^ et p,', de ces sections, vérifieront la relation
k' A po po Iv U,
On appelle courbure moyenne d'une surface en un point, la demi-somme de ses courbures principales. L'égalité précédente peut donc s'énoncer ainsi : La demi-somme des courbures de deux sections normales dont les plans sont perpendicidaires entre eux est constante et égale à la courbure moijenne de la surface au point considéré.
Posons
il résulte de l'équation (25) que la courbure moyenne a pour expression, en fonction d'.z' et d'y,
4:86. Théorème. — Les tangentes en un point ci deux courbes d'un réseau conjugué sont deux diamètres conjugués de r indicatrice de Dupin.
Pour le démontrer, supposons toujours l'origine des coordonnées en M, et prenons pour axes obliques des coordonnées dans le plan des x, y les tangentes à deux courbes d'un réseau conjugué, l'axe des z restant quelconque. On a, au
point M,
iz ^z
ox ôy ^
L'équation du plan tangent en un point [x^ y, z) inliniment voisin de M, qui serait en général
Z - ^ =: (p + dp) (X - ^) + (g + dq) (Y - y),
se réduit ici, si l'on prend le point sur la courbe tangente
à oy (^ = o, s = o), à
Z = 5Î/X 4- ty\, en tenant compte de ce que
dp = rx -\- Si/, dq = SX -f- ty.
Par définition des réseaux conjugués et à cause de notre choix des axes, ce plan doit contenir oj:, ce qui exige qu'on ait, au point M,
sy = G,
et comme y n'est pas nul,
s = o; or cette condition exprimée dans l'équation (13)
z==^{ax' + ^bxyJrcy')-\-...
conduit à
L'indicatrice a alors pour équation
c'est bien la forme que prend l'équalion d'une conique rapportée à deux diamètres conjugués.
Ce théorème a reçu le nom de tlu'orhne des: tangentes con-
CALCl L INFIMTKSIMA[,. 32
jîiguée.s; il a une importance capitale dans VArt du trait^ car il permet de construire les tangentes aux courbes d'ombre ou de perspective, c'est-à-dire à la ligne de contact L d'une surface (S) et du cône ayant pour sommet le point lumineux ou le point de vue. Ce cône est la surface développable circonscrite à la surface (S) suivant la courbe L; la tangente à la courbe L en un quelconque M de ses points est donc le diamètre conjugué du rayon lumineux ou du rayon visuel correspondant par rapport à l'indicatrice au point M de la surface (S).
486 bh. Voici une autre proposition qui trouve aussi son application en Géométrie descriptive, et dont le théorème des tangentes conjuguées est une conséquence immédiate.
Lor><que ileux surfaces (S) et (S,J se touchent en un point M, leur ligne d'intersection L a pour tangentes en ce point les diamètres communs aux indi^^atrices des deux surfaces.
En effet, soit MZ la normale commune en M, M' un point de L infiniment voisin de M et P la projection de M' sur le plan tangent en M. Le plau ZMP donne dans les deux surfaces deux sections normales dont les rayons de courbure diffèrent l'un et l'autre infiniment peu de
