La dérivée de sinjr est la limite du rapport
sin [x -f- h) — sin x
lorsque h tend vers zéro.
Or, la formule
sin {x -|- h) — sin a; = 2 sin^ ces ix-\--y (2)
permet de donner au rapport précédent la forme
-^cos(^^^ + 5J-
Mais, lorsque h tend vers zéro, le premier facteur tend vers l'unité et le second vers cos.x'; la dérivée de sinj? est donc COS.Z',
Dérivées des ïoiictioiis de fondions
48. Suivant un usage généralement adopté, nous indiquerons désormais l'accroissement (positif ou négatif) d'une quantité en plaçant la lettre A devant le symbole qui représente cette quantité. Ainsi l'accroissement de la variable jf, que nous avons jusqu'ici désigné par/?, sera désigné par Aj', et l'accroissement correspondant
de la fonction ij =-/' (./) sera représenté par
A/ [x] ' ou Ay.
Cette notation très expressive permet d'éviter la confusion, surtout dans le cas où l'on a à considérer les accroissements de plusieurs quantités.
49. Cela posé, considérons une fonction de fonction définie par les relations
Attribuons à la variable indépendante x un accroissement Aa:; u prendra dès lors un accroissement A?^, auquel répondra à son tour un accroissement Ay de la fonction y. D'ailleurs, quand A^f tend vers zéro, Aw tend lui-même vers zéro et par suite aussi Ay. Si donc, dans l'identité
Aï/ Ay Lu
Lx Am Lx
on passe à la limite pour Aa: = o, et si, comme nous le supposons, les fonctions /'(m) et œ [x] ont des dérivées déter-
minées, le second membre deviendra
et par suite la fonction y aura une dérivée déterminée et donnée par la formule
y' = f{ti).<f'{x). (-4)
Donc : la dérivée cVuiie fonction de fonction est égale au. produit des dérivées des fonctions' dont elle est formée. Exemples : Si u désigne une fonction de j', on a
(i('")' = mu"^~\ (i [m étant entier et positif)
(sin u)' = ces II. u'
(log u)' = -• u' [u étant positif).
50. La démonstration précédente suppose que ^.u ne soit pas nul pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et un nombre s aussi petit qu'on veut. Mais, dans ce cas, Ay est nul dans le môme intervalle et l'on a simultanément
y' = G, cp' [x] = G,
de sorte que la relation (4) est encore vérifiée et que le théorème subsiste.
51. Nous n'avons considéré que le cas d'une fonction intermédiaire u\ s'il y en avait plusieurs u, t\ ?r, en d'autres termes si la fonction y était définie par les relations
?/ = F (w), llr= f [v), u = (D [ic], te = ■]/ {x),
on partirait de l'identité
Ay A?/ Am Au â^w
^x Am Au à.w Aj;
d'où, à la limite pour A^ = o, résulterait la relation
/ =-. F' [u). r [v). 9' [lo). ^' [x)
qui s'énonce, en langage ordinaire, comme au n° 50. Exemple : Soit proposé de trouver la dérivée de
y = log (^sia2 Ij (5)
on a ICI
01 Ino' 1/ • Il 11- 11 Cl n 7/1 1/1 —
y = log u\ u = u-, V = sin îv, w := -• (6)
Donc
ou
y' = -• 2u. cosîo. - ; (7)
Zi O
et enfin
sm--
2 sm -• cos - 77 j à 6 o
2 , X --r^coig--
Dans la pratique, on se dispense d'introduire u, v^ iv, c'està-dire d'écrire les expressions (6) et (7). On obtient immédiatement la relation, (8) en disant :
La dérivée de y est égale à la dérivée de log ( sin- -j
qui est -r-^ — multipliée par la dérivée de sin--' qui est sm "^ oc o
2 sin - multipliée par la dérivée de sin -' qui est cos -
multipliée par la dérivée de - qui est -.
LES RÈGLES DE DÉRIVATIOxN 47
Dérivée d'une fonction inverse
52. Soit îj=f[x) une fonction qï x = o (y) la fonction inverse, ù^x et Ay étant des accroissements correspondants, qui tendent simultanément vers zéro, on a indentiquement
Si donc la fonction directe y = f {j') a une dérivée déter-
\x minée/' [x) et différente de zéro, le rapport — aura pour
limite^TTT— , ' en d'autres termes, la fonction inverser = o (//) f i^x)
aura une dérivée déterminée
.'ly)==^)- (10) .
Ainsi : la dérivée cViine fonction inverse est égale à la valeur réciproque de la dérivée de la fonction directe.
