MN

attendu que chaque membre représente le coefficient angulaire de la tangente. On déduit de là NI = y'dx = dy . Donc : la différentieUe dy est égale à F accroissement

y/ w/^^ IN = P'I — PM

/ 3>^r^^fA^? d^ r ordonnée de la tangente.

/ / / On voit de plus que

oZ ■••' X

IM'^ NM' — NI =^y—dy = eAa; FiG. 5

Lors donc que PP' est infiniment petit, si la tangente MT n'est parallèle à aucun des axes coordonnés, NI est un infiniment petit du même ordre et IM' un infiniment petit d'un ordre supérieur.

Différentielle d'une fonction de fonction

68. Considérons une fonction de fonction définie par les relations

On a, comme nous l'avons vu,

y' --= f {ii).v' [x).

Introduisons la notation différentielle; cette relation s'écrira

du — f ! \^.

mais,-7^ et -y- étant les quotients des différentielles de y et de

u par la différentielle dx de la variable indépendante, on peut supprimer le dénominateur commun dx et écrire

simplement

dy = f'{u) du. (6)

Il résulte de là que, si l'on a y =. f{ii), on a toujours dij =f'{i()du, que u soit ou non la variable indépendante.

Ainsi, tandis que la dérivée y' a deux expressions différentes,

suivant que u est ou non indépendante, la différentielle dy conserve toujours la même forme

dy = f'{ii) du.

On voit par là que l'emploi de la différentielle est plus avantageux, au moins en théorie, que celui de la dérivée. On ne doit pas oublier toutefois que, dans la pratique, quand on calcule dy., il faut, si n n'est pas la variable indépendante, c'est-à-dire si l'on a ti = ç(.i), remplacer du par sa valeur (f'{x) dx.

Ainsi, soit

y =: log sin x :

on aura

^ * ^ • cas 00

dy = -. — - d. sina; = -^ dx = coiQ;xax.

sino; sin x "

69. Les avantages de l'emploi des différentielles apparaîtront de plus en plus clairement à mesure que nous avancerons dans l'étude du calcul infinitésimal. Il nous paraît cependant utile d'insister ici encore un peu sur ce sujet.

Si y est une fonction de x., on a, en désignant cette fonction par ç [x),

dy = -iji' {x) dx ;

les différentielles dx et dy sont arbitraires, leur rapport seul est déterminé, et i-ien n'oblige à considérer r plutôt que

y comme étant la variable indépendante; l'emploi des dérivées exige au contraire qu'on fasse un choix.

Plus généralement, considérons autant de variables qu'on voudra, .r, y, z, u, liées de telle sorte qu'on puisse les regarder comme des fonctions de l'une quelconque d'entre elles. Supposons qu'on regarde y, z^ u, comme des fonctions de X, on aura

dy = y'dûc, dz = z'dos, du = u'dx,

d'où

dy dz du

Si l'on veut alors prendre z, par exemple, pour la variable indépendante, on pourra, sans nouveau calcul, obtenir les dérivées de x^ y, «, par rapport à :^; il suffira de diviser par dz, ce qui donnera :

dx 1

dy y

dz z'

dz- z'

Tableau des différeiilieiles des fonctions usuelles

70. Voici le tableau des différentielles des fonctions dont nous avons calculé les dérivées dans le chapitre précédent :

d [a -\- bu, ~\- cv) = hdu -\- cdv

d (uvw) du , dv , dio , /u\ vJu — udv