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du
d (m'") = mu'"- - ' du, d {sfîi)
d\oQ:u=^ — 5 d.(a"]=-- a"-\oc^a,
du d (sin u) = cos udu, d (ces ic) = — slnudu, d (tgw) =
cos- u
j, .du — du ,/ , X du
r/(arc sin ic) =^ — • «(arccos?^ ) = ^ a arcts"?/
\/i — u' sji—u^ i-f-u
«, 6, c sont des constantes; u^ i\ lo sont des variables indépendantes ou dépendantes ; enfin, dans les deux premières expressions de la dernière ligne, le radical a, pour la première, le signe de cos u et, dans la seconde, le signe de sin u.
Différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables indépendantes
71. D'après la formule (12) du chapitre précédent, l'accroissement de la fonction u de plusieurs variables .r, y, r, se compose de deux parties que nous avons écrites sur deux lignes différentes pour les bien distinguer l'une de l'autre.
Supposons que les variables x^ y, z soient indépendantes.
Par analogie avec ce qui a été dit pour les fonctions d'une seule variable, on donne à la partie de lu qui est sur la première ligne le nom de différentielle totale de la fonction il et on la désigne par du. On a donc, par définition,
da = f!^ (x, y, z) \x -[- /"^ [x, y, z) t^y -\~ fl^ [ce, y, z) \z (7)
On voit, en outre, que, si A^, A//, A:; sont infiniment petits du premier ordre et si les dérivées partielles /'/, //, // ne sont pas nulles simultanément, l'accroissement \u de la fonction sera aussi un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur principale sera la différentielle totale du do cette fonction.
On peut d'ailleurs constater, en divisant l'une par l'autre les expressions de \n et de du, que, si les dérivées partielles//, fy\f.' ne sont pas toutes nulles, le rapport
Am j I aA.'T -\- (j{i;/ -}- yS.z
cln-'-^^
U pour limite l'unité lorsque A.z, A//, A^ tendent vers zéro,
du moins tant que les rapports des accroissements A^, à.y^ A^ à l'un d'eux restent arbitraires.
La relation (7), appliquée successivement au cas où la fonction se réduit tour à tour h x^ y ou z^ donne.
dx = Aflî, cly = A?/, dz z= A^.
On peut donc écrire, au lieu de (7),
du = f^ [x, y, z) dx -\- f'y {x, y, z) dy + fi [x, y, z) dz. (8)
Mais, d'après la définition de la différentielle d'une fonction d'une seule variable (n° 66), les termes du second membre de la relation (8) sont les différentielles respectives de u considérée tour à tour comme une fonction de la seule variable x y ow z\ on donne à ces expressions
Tx (a-, y, z) dx, fy'{x, y, z) dy, ,. f-!,[x, y, z) dz
le nom de différentielles partielles de u par rapporta x, y, z, et la relation (8) s'énonce de la manière suivante :
La différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables indépendantes est égale à la somme des différentielles partielles de cette fonction.
72. Un grand nombre d'analystes écrivent la formule (8) sous la forme
du , , du -, . du du =z -—- dx 4- -j- dy -4- — dz .
dx ^ dy ^ ^ dz
Toutefois cette notation peut entraîner de graves confusions, les divers du qui figurent dans cette formule ayant des significations différentes. Pour éviter toute erreur, quelques géomètres, à l'imitation d'Euler et de Laplace, écrivent
les parenthèses indiquant que
/du\ /duX /du\
\dx)' \dy)' \diy
représentent simplement les dérivées partielles par rapport à ic, à ?/ et à z. Mais, on ne saurait le dissimuler, l'emploi des parenthèses est un embarras. Aujourd'hui on préfère, à l'exemple de Jacobi, supprimer les parenthèses en employant une autre forme de d lorsqu'il s'agit de dérivées partielles. C'est cette dernière notation que nous adopterons ; nous désignerons donc les dérivées partielles de ii par rapport k x, h y ei h z par les symboles :
'iix ^y tiz
Les différentielles partielles correspondantes seront, dès lors, représentées par
^- C'X, r- ('IJ, —- dZ,
et la différentielle totale par
du = -r- c/a; 4- T" f ' y + ^ dz. (9)
Ainsi, soit u = .r^ffz; on aura
et enfm
du ■= x^i/ i^iyzdx -j- '^xzdy -\- xydz
Propriétés de la tlifférentielle totale
73. Voici deux propriétés de la différentielle totale qui sont la généralisation des propositions des n"" 39 et 40.
Si une fonction u de plusieurs variables indépendantes x^ y, z, se réduit à une constante pour les valeurs de ces variables comprises respectivement entre certaines Htnites, la différentielle totale du est nulle entre ces limites; et, réciproquement, si la différentielle totale du est constamment nulle ^ la fonction est constante.
En effet, comme dx^ dy^ dz sont arbitraires, la condition du = 0 entraîne
7)10 Tiu 'bu
ôoo ^y OZ
et réciproquement. Or (n° 39) les conditions précédentes expriment : la première que u est indépendant de x, la seconde que u est indépendant de y, et la troisième que u est indépendant de :;.
