Voici une application
Trouver la courbe dont les normales passent jjar un même point.
Prenons ce point pour origine, et soient x et y les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la ligne cherchée. Le coefficient ano:u]aire de la tangente étant
celui de la normale est
dy
dx
dx dy
et l'équation de la normale est
Pour qu'elle passe par l'origine, il faut et il suffit qu'on
ait
dx -^=^^'
ou
xdx + ydy = o,
c'est-à-dire
et, par conséquent, d'après le théorème ci-dessus,
Les courbes demandées sont donc des cercles ayant pour centre le point de concours des normales.
75. En appliquant le théorème précédent à la différence u — t^ de deux fonctions ?/ et v de plusieurs variables indépendantes ^, y, :;,..., on obtient la proposition suivante, qui est la généralisation de celle du n° 40 :
Si pour les valeurs des variables indépendantes x, y, z, comprises respectivement entre certaines limites^ deux fonctions u et V ne diffèrent que par une constante^ les différentielles totales du et dv sont égales; et^ réciproquement ^ si les différentielles totales du et dv sont égales^ les fonctions u et V ne diffèrent que par une constante.
Différentielle tl'ime l'onction composée
76. Nous avons vu (page 58) que, si ?/, t", w sont des fonctions d'une même variable indépendante a-, la dérivée par
rapport à ^ de la fonction composée w = /(w, v, tv) a pour expression
oi' = n-u' + r:,.v' ^ r>',
ce qui, avec nos nouvelles notations, peut s'écrire
dix) ^a) du ti(io dv cVo dw
dx t)i4 dx t)y dx <)m5 c/o;
Si donc on multiplie par dx, on a, pour la différentielle de la fonction composée,
d^ — '-^ c/îf + ^ f/y + V^ dio. (10)
^u tiy ti^^
Le second membre a la forme d'une différentielle totale (n° 72) ; toutefois ici du, dv, dw ne sont pas des différentielles de variables indépendantes, c'est-à-dire des quantités arbitraires, mais au contraire des différentielles de fonctions d'une même variable.
77. La formule (10) subsiste dans le cas où u, v, iv sont des fonctions de phisiei/rs variables indépendantes x, y ; alors du, dv, div représentent les différentielles totales de ces fonctions u, v, w, de x et de y. La démonstration n'offre aucune difficulté. En effet, w étant en définitive une fonction des variables indépendantes x et y, on a
^^ax-^^:^dy. (il)
D'autre part
'dx 2u dx dv dx dlO dx
dcù diO du 3(j) dv diO diO
dy du dy~^ dv dy dio dy
doi
t>co
( -— cJx -\- r— dll I «'^ -f ^-^ -'y)
7— c/x 4- r— dy ]
En portant ces valeurs dans la relation (11), on obtient :
expression qui n'est autre que (10), puisque les parenthèses représentent respectivement les différentielles totales du., dv^ dw.
Ce dernier théorème est très important ; il en résulte que les règles de diff'érentiation d'une somme ^ d'un produit^ d'un quotient et des puissances de fonctions cVune seule variable sont applicables au cas des fonctions de plusieurs variables i7idé pendante s.
Pi'incipe de la superposition des petites variations
78. Nous avons vu (n" 71) que, si A.^-, Ay, As, ..., sont des variations infiniment petites du premier ordre, l'accroissement A« de la fonction u=f [r, y, s, ...) est, en négligeant les quantités d'ordres supérieurs au premier, donné par la formule
Au = ^ Aa; + ^ Ay + ^ A.' + ... (12)
ex ÔIJ àZ ^
Donc, si une fonction dépend de quantités qui éprouvent des variations très petites^ la variation totale de la fonction est sensiblement égale à la somme algébrique des variations que cette fonction aurait subies, si chacune des quantités dont elle dépend eût varié seule.
« Le principe de la superposition des petits mouvements », dit Cournot dans son Traité des Fonctions., « qui joue un rôle
si important dans l'explication des phénomènes physiques, n'est lui-même qu'une conséquence du principe que l'on vient d'énoncer et qu'on pourrait appeler le principe de la superposition des petites variations . Ce principe fait comprendre comment un nombre borné d'expériences fournit les moyens de calculer les variations d'une quantité qui dépend de plusieurs autres, suivant une loi inconnue, pourvu que les variations de ces dernières quantités soient renfermées dans des limites étroites. Car il suffira, à la rigueur, d'observer les valeurs de Az/ pour autant de systèmes de valeurs de A.2:, A//, A:;, ..., qu'il y a de dérivées partielles à déterminernumériquementdans l'équation (12), et ensuite cette équation donnera Az< en fonction linéaire deA^:-, Ay, A:;, ..., pour des valeurs très petites, mais d'ailleurs quelconques, de ces variations. L'art des observations consiste à observer dans des circonstances qui permettent de déterminer ces coefficients inconnus avec la plus grande précision; la théorie des chances fournit à ce sujet des indications que nous n'avons pas à développer ici. »
