DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEL'R AU PREMIER

Dérivées et clifféreiitielles des divers ordres tl'uiie fonction d'nne senle variable

79. La dérivée y' ou/'(.r) d'une fonction de x est en général une fonction de cette variable ; elle admet donc elle-même une dérivée qu'on nomme dérivée seconde et que l'on représente par y" ou f" {x). La dérivée de cette dérivée seconde prend le nom de dérivée troisième et est représentée par y'" ou/"'(^), et ainsi de suite.

On nomme différentielle seconde d'une fonction y = / (a^) la différentielle de sa différentielle première dy = y'dx^ à condition de considérer, dans le calcul de celte nouvelle différentielle, le facteur dx comme constant, c'est-à-dire comme indépendant de x. Dans cette hypothèse la dérivée de ijdx estyV/j;, et, par suite, en désignant par dhj la différentielle seconde, on a

d}y = [y"dx) dx = y'dx'^.

En prenant de môme la différentielle de dhy, dx étant toujours considéré comme constant, on a la différentielle troisième qu'on représente par dhj et qui a pour expression :

d^y = [y"'dx-) dx = y"'dx^^ et ainsi de suite.

On déduit de là

d'où l'on voit qu'en définissant les différentielles successives comme nous venons de le faire, l'analogie avec la différentielle première se trouve conservée : de même que la dérivée première y' est égale au quotient de la différentielle première dij par la première puissance de la différentielle dx de la variable indépendante, la dérivée 7^'°™" , y ^"\ est égale au quotient de la différentielle /i'''"% d"y, par la puissance îf^""' de la différentielle dx de la variable indépendante.

Application aux fonctions élémentaires

80. Voici les dérivées successives de quelques fonctions usuelles:

i" Soit

on aura

dy , d-i/ , .V o

•^ =ï mx"^-\ —4 = m (m — 1) x'"-^,

dx clx^ ^ ^

Si m es t entier et positif, la dérivée m''"""" est constante et égale à 1, 2, 3, ..., m, et les dérivées suivantes sont nulles.

2° Soit

y ==logx; on a

'^ = -=x~' ^^=—ix-^

dx X ' dx'^ ' '

dx" ' ^ ^ '

3° Soit

on a:

H "-Il 1

En particulier

lîJF ~ ^ ' 4° Soit

y = sin (a; -}- a),

a étant une constante.

On a

-^ = cos{ûo + a) =sin (a) + * + §)

En particulier, pour ce = o et a =^5 on a :

5° Soit enfin

y = arc tg a; ; on a

dy „

•y- = cos^ 2/ = ces 7/. cos 7/

d^î/ dy n

■j\ = — 2 cos y sin y -f^. = — sin 2y cos- ?/

-T-^ = — (2 cos^ y cos 2^/ — 2 cos y sin y sin 2?/) cos^ y = — 2 cos 3// cos^ y

On en conclut, par induction,

^ = (— i)"-'l. 2... [n — 1) cos"i/ sinn K ~ y)

sauf à vérifier la généralité de cette loi en prouvant, ce qui ae présente aucune difficulté, que, si la formule est vraie pour la /i'^™" dérivée, elle subsiste pour la dérivée d'ordre

Dérivées partielles des divers ordres d'une fonction de plusieurs variables