Les dérivées partielles

'du 'du U

dx dy ~dz

d'une fonction u = f (.t, y, z) de plusieurs variables sont elles-mêmes des fonctions de ces variables, et on peut prendre successivement les dérivées partielles de chacune d'elles par rapport à j-, à y ou à ::. On obtient ainsi les dérivées partielles du second ordre de la fonction u^ tandis qu'on réserve le nom de dérivées partielles du premier ordre aux quantités ci- dessus.

En prenant la dérivée par rapport à cT, à ?/ ou à :; des dérivées partielles du second ordre, on obtient les dérivées jjartielles du troisième ordre; et ainsi de suite.

Si m est le nombre des variables a:, y, :;, ...,qui entrent dans la fonction «, on obtient un nombre de dérivées partielles égal à m pour le premier ordre, à m- pour le second ordre, à m" pour le /i'''"' ordre.

Mais les dérivées partielles ainsi obtenues pour un même ordre supérieur à 1 ne sont pas toutes distinctes. Cela résulte du théorème suivant.

82. On peut^ sans changer la valeur cVune dérivée partielle d'ordre quelconque, intervertir Tordre des dérivations, à condition que la fonction et les dérivées partielles jusqu'à l'ordre indiqué soient continues.

Il suffit évidemment de démontrer la possibilité d'interver-

tir l'ordre de deux dérivations successives ; le théorème général en résultera par un raisonnement analogue à celui qu'on emploie en arithmétique dans le théorème relatif à l'ordre des facteurs d'un produit.

Soit donc u une fonction de plusieurs variables et

n{oo,tj), r[My) (1)

les dérivées partielles de u par rapport à deux quelconques X et y des variables dont elle dépend ; pour plus de rapidité, nous omettons dans les parenthèses qui accompagnent les signes f ^ , f y les variables autres que x et ?/, vu qu'elles restent constantes dans la question.

Il s'agit de prouver que, si l'on prend la dérivée par rapport à y de la première des expressions (1) et la dérivée par rapport à .c de la seconde, les deux résultats obtenus, que nous désignerons respectivement par

sont les mêmes.

A cet effet, considérons l'expression

U = /■ K + /^ 2/0 + ^\) — /(^o + ^. !/o) — /"(^o. Vo + ^) + /"(^o 2/0)

où .ru, //q, h, k sont des quantités déterminées. Si l'on pose

/ (^> .Vo -\-J-) — f (^% Va) = ? H' on aura

U = cp (xo + h) — -^ {x^),

et, par suite, en vertu du théorème des accroissements finis,

V = h'^' {x^ -\- dh) (0 < 0 < 1).

Mais on a

. 'f' [x) — /!■ [OC, y^ -f- h) — f!, [X, y^) ;

et, par suite, d'après le théorème déjà cité,

cp' (x) = kf;, [x, y, + %k) (o < 6, < 1),

en sorte que

Le même raisonnement, en échangeant les rôles des lettres X et y, conduirait à

U = M r^, (a;, + X/^ 2/0 + X,A) {1^1^^^^ (3)- On a donc, en comparant les relations (2) et (3),

ru K + ^^^ .Vo + ^J^= fxy (^0 + ^^^^ 2/o + >^i^), et, par suite, à la limite, lorsque h et h tendent vers zéro,

f'yx (•^, y) = fxi, {oo, y).

83. Gela posé, revenons aux dérivées partielles des divers ordres d'une fonction u de plusieurs variables, et considérons d'abord le cas oii ces variables ne sont qu'au nombre de deux, X et y.

La dérivée partielle ^5 quand on prendra successivement

sa dérivée par rapport à j: et sa dérivée par rapport à y, donnera deux dérivées partielles du second ordre que nou s désignerons respectivement par

L'autre dérivée partielle du premier ordre ^? quand on

prendra successivement sa dérivée par rapport à y et sa dérivée par rapport à x, donnera, à son tour, deux dérivées partielles du second ordre, que nous désignerons respecti-

vement par