xb y t

Mais, d'après le théorème ci-dessus, on a

'dx^l/ 'dy'dx

Il n'y a donc que trois dérivées partielles du second ordre distinctes

Elles ont pour expression générale

a et (3 étant des entiers positifs ou nuls dont la somme est égale à 2.

L'expression générale des dérivées partielles de l'ordre n d'une fonction ti d'un nombre quelconque de variables ^, //, ..., f est

a, i3 ,6 étant des entiers positifs ou nuls ayant pour

somme n. L'exposant, dont la différentielle d'une variable quelconque est affectée, dans le dénominateur de ce symbole, indique le nombre des dérivations relatives à cette variable. Par exemple, la notation

roprésente le résultat obtenu en prenant deux fois de suite la dérivée par rapport à :;, puis une fois la dérivée par rapport à y, enfin deux fois la dérivée ))ar rapport à x.

CAI.CUl, INI'IMTl';SIMAI,. C

Voici, pour ne rien laisser à désirer sous le rapport de la clarté, le tableau de ces opérations successives, en supposant

On a

— = Âx^y^z^ ^ = l^x^y^z^,

Différentielles partielles et différentielles totales des ordres supérieurs des fonctions tle plusieurs A'ariables indépentlantes.

84. Considérons d'abord une fonction ii de deux variables indépendantes j: et y ; chacune des différentielles partielles du premier ordre

r— dx, r— du

?jc ' ^y

donnera deux différentielles partielles du second ordre quand on la différentiera successivement par rapport à ^ et à y. Dans ces différentiations les différentielles dx et df/ des variables indépendantes, qui, comme on sait, sont arbitraires, seront supposées constantes. D'après cela, en différentiant

r— dx ox

par rapport à x, on aura

et, en différentiant par rapport à y, on aura L'autre différentielle partielle du premier ordre

'du ^

donnerait les différentielles partielles du second ordre dycix, r— dy^;

et, comme

on a finalement les i/'ois différentielles partielles du second ordre distinctes

Le type général des différentielles partielles d'ordre n d'une fonction u d'un nombre quelconque de variables indépendantes jc, y, ...., / est

iJyl'..Mt'> ''"^dyh.MK n désignant la somme a+ i3 -f- .... +0.

85. Enfin il y a lieu aussi de distinguer des'différentielles totales des divers ordres.

u étant une fonction de plusieurs variables indépendantes, la différentielle totale du définie au n° 72 prend le nom de différentielle totale du premier ordre. On nomme différentielle totale du second ordre^ et on représente par d-u la dif-

férentielle totale de du, c'est-à-dire la somme des différentielles partielles de du. De même, on nomme différentielle totale du troisième ordre et l'on représente par dhi la différentielle totale de d-u ; et ainsi de suite.

Nous allons calculer ces différentielles successives.

Pour avoir la différentielle totale d'une fonction u de plusieurs variables .r, y, :;., il faut, d'après la définition même de cette différentielle, prendre les dérivées partielles de cette fonction par rapport à j^, y, z, multiplier respectivement ces dérivées par dx, djj, dz, puis ajouter. En appliquant cette règle à la différentielle totale du premier ordre

du =:z r— dx A- ^~ dii A- — dz (4)

ex oy '' ^ ùz ^ ^

on a

or, les variables x, y, :; étant indépendantes, dx^ dij., dz sont constantes, en sorte qu'on a

? (du) - /'à-U , , i)-M , , y-U j \ -, \

— - — ■ dx =: ( <— : dx H- ^ ^ ■ du -\- z—-— dz dx dx \ix^ ' lix^y ^ ' l^x^z ) I

— î^ — dz = r-r- dx 4- r— r- dî/ 4- ^r-^ dz ) dz ] dz \dxl>z ' ^i/:^z ^ ' ^z^ ) j

d'oii, par addition,

d'^U =3 r-T, dx^ -f r— :; dl/^ 4- :-— dz^ (l]

ox^ ôy^ ^ ' ôz^ ^

+ 2 r— — dxdu -f 2 r-^- dxdz 4- 2 :-^ dydz. ' ^07^/7 -^ ' ^x^z ' ^y^z ^

On peut écrire symboliquement

d-u ^ { ^— dx A- — du A- ^ dz .

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES 80

à condition de remplacer 'du- par ?>% aux numérateurs des divers termes du carré effectué.

En général on peut écrire symboliquement

/'du , , 'du , , ?M , N" ,„.

d"u = (^- dx +^/y + y^ d^) ' (8)

pourvu qu'après avoir développé la n'™" puissance on remplace au numérateur de chaque terme ^«'' par ci"w.

Pour le prouver, il suffit de montrer que, si la loi est vraie pour f/"w, elle subsiste pour <f/"+'z/.

A cet efTet, prenons dans d''u un terme quelconque

T = K ^^^,^^^^^,. dxrdydzr,

OÙ p -]r q -]-)'= n. Ldi. partie de d'^-'^hi provenant du terme T sera