Lorsque, dans

les variables x, y, z ne sont plus indépendantes, mais sont elles-mêmes des fonctions d'une ou de plusieurs variables, la fonction ?/ est dite composée, et nous savons (n°77) que sa différentielle totale du premier ordre est encore donnée par la formule (4), absolument comme si x^ ?/, z étaient indépendantes.

Ainsi la formule (4) subsiste ; mais il n'en est plus de même de la formule (7). C'est qu'ici dx, dy^ dz ne sont plus des constantes, et dans le calcul des quantités

^ (rfa) :^[di() D {du)

c^x ^y liz

qui figurent dans la formule (5), il faut considérer chaque

terme de

, du ^ . du , , ^u ,

au := T- dx ~\- :;— du -j- ^- dz dx ' ôy '^ ^ ^z

comme un produit de deux facteurs qui sont Ftin et Vautre variables. Ainsi il faudra ajouter respectivement aux seconds membres des relations (6) les quantités

Dm ,„ ctM ,0 T^U „

et, par suite, au second membre de (7), la somme de ces quantités. On aura ainsi

la première partie du second membre est sous forme symbolique.

Le même procédé conduirait aux expressions de dhi^ dhi^ ..., mais les formules qu'on obtient sont peu utiles à cause de leur complication.

Ce qui importe en pratique, c'est le calcul des dérivées partielles des divers ordres

^dyfyi'f...

de la fonction composée (10) par rapport aux variables indépendantes a, [3,..., dont x, y, :; sont des fonctions données. Le problème est ramené de la sorte au cas des fonctions d'une seule variable : en effet on dérivera d'abord p fois de suite l'expression (10) par rapport à a, puis on dérivera le résultat

— • g fois de suite par rapport à (3, ce qui donnera ■ i et

ainsi de suite.

87. Lorsque dans la fonction composée (10) les fonctions composantes x^ y, z sont des fonctions linéaires de la variable ou des variables indépendantes a, (i, ..., c'est-à-dire sont de la forme

Aa+B ou Aa + Bp + C,

les différentielles premières dx, dtj, dz sont des constantes; et, par suite, les ditïérentielles d'ordre supérieur.

sont nulles ; par suite d"u est donnée par la formule (8) ; en d'autres termes, les différentielles totales de tout ordre delà

fonction composée (10) s'expriment dans ce cas simple comme si ^, y, z étaient des variables indépendantes.

Formule tle Leibiiitz

88. Il est un autre cas, fort usuel d'ailleurs, où la différentielle totale d'ordre n d'une fonction composée est susceptible d'une expression simple. C'est celui oii cette fonction est le produit de fonctions u, r, ,.., 5, d'une ou plusieurs variables indépendantes.

Considérons d'abord le produit de deux facteurs u et v. On a successivement

d [uv] = vdu -\- udv d'^ [uv] = d (vdu) -\- d [udv)

= vd^u -f- ^dudv -\- [d^v) u d^ [uv) = d [vd^-u) -f- 2<i [dudv) -j- d [ud^v)

= vd^u 4- ^dvd^u -\- 3 d^vdu -f- [d^v) u;

on en conclut, par induction,

c^« [uv)=z vd"u + Cldvd'^-hi -]- ... (11)

... 4- Cld^vd"-''u + ... -f [d"v) w,

formule attribuée à Leibnitz,et dans laquelle Cj" désigne le nombre des combinaisons de n objets k à k.

89. Pour achever la démonstration de la formule (11), il suffit de prouver qu'en la supposant vraie pour l'ordre n elle subsiste pour l'ordre n -\- 1.

A cet effet on ditlerentie la formule (11), ce qui donne

d'*+^ [uv) = vd''+ • M j- . . . j- (C;^- i -j- G,';) d^'vd''+ < -^^ -j- . . . -(- [d'^+^v) u; et, comme on a évidemment

il vient,

(-7'»+^ {uv) = vd"^* u + ... + dn^^d''vd''+^-''u -{- ... + (t^^+'yjw,

expression qui n'est autre que (11), dans laquelle on a changé n en yi + 1.

On donne souvent à la formule (11) la forme symbolique

d" {uv) =■ [du + dv)'K (12)

Voici comment il faut l'entendre : après avoir développé le second membre d'après la règle du binôme de Newton, on mettra en facteur dans le premier terme {dv)° et dans le dernier [du)" ; puis on remplacera les puissances [dtif et [dvf respectivement parles différentielles dhi^ d'^v, lorsque k n'est pas nul, et par u et i\ si k est nul. Il est clair qu'on tombera ainsi sur la formule (H).

Considérons maintenant un produit

(o = uv... 10. s

d'an nombre quelconque de facteurs ; on aura encore symboliquement

d"(û = [du -{- dv -\- ... -^ dw ~\- dsY ; (13)

en d'autres termes, pour obtenir d'\), on devra : 1° développer le second membre comme une puissance ; 2° introduire ensuite en facteur dans chaque terme la puissance zéro de celles des différentielles du., dv., ..., ds qui ne figurent pas dans ce terme ; 3° remplacer les puissances

{duy% [dv)'', ..., {ds^-

par les différentielles

si k diffère de zéro, et par

si /t est nul.

Pour démontrer la formule (13), il suffit maintenant de faire voir que, si cette formule est vraie dans le cas de m — 1 facteurs, elle subsiste lorsque ces facteurs sont au nombre de m. A cet effet, désignons par tj le produit des m — 1 facteurs u, i\ ..., w\ on aura symboliquement par hypothèse

d"isi — d'' [y. s) — [dy + ds)".

Or à un terme quelconque kj/Ij/d-^'^^^ du développement de ce binôme correspond dans f/"o) le terme kkdhjd"'-''s^ c'est-à-dire d'une façon symbolique

A/, [du -\- do -{- ... -|- diofds"-'^-.

En raisonnant de môme sur les autres termes et ajoutant, on tombe sur la relation symbolique (13).

Dérivées successives d'une ïouctîon de i'oiiclion

OO. Nous terminerons ce chapitre par la recherche de ~r^^i y étant une fonction de fonction de x définie par les

équations

Des relations (1) on déduit par différentiations successives :

dy

^3 = r [oo] cp' (i.) + 3 f [x) f" [x) ^" {u) ,

On voit par là que -— est de la forme

les coefficients Aj, A.^, ..., A., dépendent de f\x) et de ses dérivées, mais restent les mômes, quelle que soit la fonction o[ll).

On déterminera donc ces coefficients en faisant sur cette fonction oiii) des hypothèses particulières. En appliquant successivement la relation (2) aux cas où les valeurs attribuées à cj[ii) sont les puissances, w, it-^ ..., ^«", on obtient, pour déterminer Aj, Ao, ..., A„, les équations linéaires :

dœ"' dx"-

= 2mA, + A^,

Nous laissons au lecteur le soin d'achever ce calcul qui n'offre ni intérêt, ni difficulté.

Déllniiioii des ifoiiclioiis innïlicites

91. Lorsque m -\- n variables ^■j...j",„, ?/j...m", sont liées par n équations

/) K"^' {• ••^mi U^...U„) = O j

In \X^' • •^mt 1-i^...U,i) "^^ 0 /

non résolues par rapport à z/j, ... ?^,, on dit que z/j, ..., iin sont des fonctions implicites de a:^, ..., x.^.

Mais sous quelles conditions ces fonctions W|, .... ii,^ sontelles bien définies et ont-elles des dérivées déterminées? La réponse à cette question exige quelques explications.

On dit que plusieurs variables indépendantes x^ y^ z restent situées dans un champ (C) déterminé par les intervalles (a, a'), (3, 3'), (y, y'), lorsque les valeurs que peuvent prendre ces variables sont tous les systèmes de valeurs telles qu'on ait

oc < a; < a', 8 < y < ^', y < ^ < ï'î

Gela posé, considérons les fonctions /j, ..., /„, qui constituent les premiers membres des équations (1) ; soit (G) ua champ dans lequel ces fonctions soient bien définies et con-

tiniies, ainsi que leurs dérivées partielles, par rapport à

^\1 •••1 ^mi ^f\y •■•■, Un-

Si j^j = ^/,, ..., X,,, =a„„if^ = ô,, ..., u„ = ô„ esi un système de valeurs comprises dans le champ (C) et propre à vérifier les équations (1) sans annuler le déterminant

il existe un système unique de n fonctions,

[Jji... 00,1

satisfaisant aux conditions suivantes :

1° Elles prennent respectivement les valeurs ôj, ..., /;„ quand on attribue à x^, ..., a?^, les valeurs «,, ..., «„, ;

2° Elles sont bien définies^ continues et possèdent des dérivées déterminées dans un certain champ (C) comprenant «,, ..., rt„j, et dans lequel K reste différent de zéro ;

3" Pour tout système de valeurs de x^, ..., x,,, renfermées dans le champ (C), les fonctions f^, ..., /„ deviennent identiquement nulles, lorsqu'on y remplace u^, ..., u„ respectivement par çi, ..., Oy,.

Ce sont les fonctions çj, ..., ç» définies de la sorte, qui constituent les fonctions implicites Wj, ..., u„.

Il était indispensable, pour préciser la définition des fonctions implicites, d'énoncer le théorème qui précède. Quant à sa démonstration, elle n'offrirait aucune utilité à nos lecteurs, et, comme elle est assez délicate, nous renverrons les personnes désireuses de la connaître au Cours d'Analyse de M. Jordan. Ces considérations purement théoriques nous éloigneraient de notre but qui est surtout d'apprendre à calculer les dilTérentielles et les dérivées des fonctions implicites.

On pourrait aborder de suite le cas général, mais il nous paraît préférable de commencer par les cas simples qui sont les plus usuels.

Différeiitîatioii des fonctions implicites d'une variable indépentlante

92. Soit II = ç [x] la fonction implicite définie, sous les conditions indiquées ci-dessus, par une équation

Ici le déterminant K se réduit à ^- et, par suite, cette der-

nière quantité est supposée différente de zéro dans un certain champ.

Cela posé, dans /{x^u) on suppose ii remplacé par o{x)^ f[x, u) sera une fonction composée ; et, comme cette fonction composée est égale à zéro, c'est-à-dire conserve une valeur constante dans le champ considéré, ses dérivées successives devront rester nulles dans le même champ. On a donc, en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées : ■

'eu

\ôxdU ' àU^ J

Puisque ^ n'est pas nul, la première de ces équations

donnera pour la dérivée premières' une valeur déterminée; on portera cette valeur de u' dans la seconde équation qui, pour la même raison, donnera une valeur déterminée pour ?/", et ainsi de suite.

LES FONCTIOiNS IMPLICITES 93

93. Considérons, en second lieu, le cas oii l'on donne n équations entre n + 1 variables, dont une seule reste dès lors indépendante ; et, pour fixer les idées sans nuire à la généralité de la méthode, prenons le système

f^ {x, w,, Ma) = G, /o [x, u^, ic^) = o, (2)

en vertu duquel u^ et tir, sont des fonctions implicites de la variable x. On suppose d'ailleurs le déterminant J différent de zéro dans un certain champ.

Puisque ii^ et u.^ sont des fonctions de x, les expressions /j (.3;, Mj, îio), /o (.r, Wj, Wo) sont des fonctions composées de cette variable, et, comme ces fonctions composées sont nulles, c'est-à-dire conservent une valeur constante dans le champ considéré, leurs dérivées par rapport à x devront rester nulles dans ce champ. On a donc, en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées

ex dUf du^ I ,

+ -bu, ""' + ^u^ ""•' - ^

. eu. ou^

K n'étant pas nul, le système linéaire (o) donnera pour les inconnues ii'^ et (/'., des valeurs déterminées ; en portant ces valeurs dans (4), on aura un système linéaire par rapport à u'\ et ^/o et qui, ayant pour déterminant K, déterminera ces inconnues ; et ainsi de suite.

Différeiitiation des i'oiictîons implicites de plusieurs variables indépendantes

94. Considérons maintenant le cas général, c'est-à-dire le cas relatif aux équations (1) ; et, pour fixer les idées, supposons m = 3 et n = 2. Les équations données sont alors :

Elles définissent un système de fonctions implicites u^ et z/o, le déterminant

étant supposé différent de zéro.

Les fonctions f^ et /o sont des fonctions composées des variables indépendantes j",, j^o, ^3. Ces fonctions composées ayant une valeur constante (qui est ici zéro), leurs différentielles totales des divers ordres sont aussi nulles. On aura donc les relations

dî,

df..

Développons ces équations et, pour abréger l'écriture, désignons par /l'une quelconque des expressions/jet /o ; l'équation df = o développée est

dx^ ) =z o ; (8)

da, + -^ du, -f- ^— dx, -f- — dx, -f ^^ ..3

et, pour avoir le système (6) développé, il suffira d'affecter successivement dans (8) la lettre /' des indices 1 et 2. On

obtient ainsi un système de deux équations linéaires par rapport aux inconnues clu^, du^, et qui détermineront ces différentielles totales, puisque le déterminant de ces équations est précisément le déterminant J qui, par hypothèse, est différent de zéro. Ces valeurs seront de la forme

du^ = A^dx^ -\- A^dx^ -\- A^dx.^^ dH.2 = }^^dx^ -\- B.^dx^^B^dx^,

ce qui donnera pour les dérivées partielles du premier ordre de Ui et de u., les expressions

»)M.2 q iU.y

?Mo

Passons maintenant au second ordre.

En difîérentiant la relation (8) et n'oubliant pas que dxi^ dx.2, dxo sont constants, on a l'équation:

Y . fd-f y^r ?V ^V ^V \

-|-r— d'^u^-\-[ ^r^du.2-\-- — ^—du^-^^——-dx^ -{-- — -—dx.,-\-- — r— g?^„ ]du^

/cl Y ;)Y ^Y ^Y . ^Y \

+ T~^> dos.,-\-- — ^ du, -j-r — r — dUo-\-^ — ;-- dx, -+- - — ;^ — dx^ ]dx.y \ox^ - ôx^ou^ ôx^ôv^ - ox.2<>x^ ' ôx^dx^ '7 ^

-f r-r dx.^-\-- — ^-du^^- — r— du^ + r — r— dx^ -\- - — ^—dx.^ ]dx^

dans laquelle, pour plus de clarté, nous avons placé sur une môme horizontale tous les termes fournis par la différentiation d'un môme terme de (8), sans opérer aucune réduction. On déduira de là le système (7) développé, en affectant successivement la lettre / des indices 1 et 2 et remplaçant da^ et du.^ par leurs valeurs (9). On obtiendra de cette façon un système de deux équations linéaires par rap-

port aux deux inconnues dhi^, d-u.,, et qui, puisque K est différent de zéro, déterminera ces deux différentielles totales du second ordre. Les valeurs tirées de ces deux équations seront de la forme

-\- 'iCJ^dx^dûc^ -f ^C-dx^dœ^ -\- ^C^dcc^dx.^ d^u.^ = D^dx^ + D^dxl + D^dx^

+ 'iDj^dx^dx^ -f '^\)^dx^dx^ -f 'iD^dx^dx^,

et l'on aura enfin, pour les dérivées partielles du second ordre,

'^x^^ ~^'dxl ^ ^'^xl ~ ^'^^x^^c^" ■'"i>x^:>x^~ ■''^^^^~^

On continuerait de même pour les ordres suivants.