On peut procéder un peu autrement

Tandis que nous avons (n'' 94) calculé directement les différentielles totales pour en déduire les dérivées partielles, on peut commencer par calculer séparément les dérivées partielles ; ce calcul s'effectuera, d'ailleurs, par la règle relative aux fonctions implicites d'une seule variable.

Nous allons appliquer ce procédé au cas fort usuel d'une fonction implicite :; de deux variables indépendantes x et y. On donne alors l'équation unique

et le déterminant Iv se réduit à ^ qu'on suppose différent de

zéro.

Il est d'usage de représenter, dans le cas qui nous occupe, les dérivées partielles :

(!x ciy ^x^ ^x7>i/ 'by^

respectivement par les lettres

Cela posé, pour obtenir /> et q, on différentiera l'équation donnée (il) deux fois de suite en considérant la première fois y, la seconde fois .r, comme constantes.

On aura ainsi (n° 92) :

d'oii

Pour avoir ;% .y, /, on différentiera les équations (13), ou mieux les équations (12), chacune deux fois, en regardant d'abord y, puis x comme constantes ; cela ne fournira en réalité que trois équations

OX^ ' OOCOZ ' dz~ OZ 1

cv/- cVY cVY , df

attendu que la différentiation par rapport à y de la première des équations (12) donne le même résultat que la différentiation de la seconde par rapport à x. Ces trois équations (14) donnent, après qu'on y a remplacé ^j et q par leurs valeurs (13),

\dzj ' ' :>x^z:^x^z ^^2 y^^j ^^.2 y^^j i

KV. , ^ iV ^ ^Z ^ (Xy ^ PJX (m

}z) ' ~ " l^y^z hj :^z cV=^ VcV/ ^J/' Vz) 1 ^ '

X\\,^(ZLX^ ^X\^ZL(X\'^X^.