Exemple : soit l'équation

entre les variables indépendantes x et y et la fonction z. On a ici

d'où l'on déduit, en portant ces valeurs dans les formules (13) et (15) :

c'^xy

Déterniîiiants foiictioiinels

97. On nomme déterminant fonctionnel à' vxn système de n fonctions

ûe n variables indépendantes Xi, ..., x.^, le déterminant

Llx^ i*x,i

formé avec les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions. C'est Jacobi qui l'a introduit dans l'analyse et qui en a fait connaître les principales propriétés.

Voici la plus importante :

Pour que les fonctions ?/| , . . . , u„ ne soient pas indépendantes^ il faut et il suffit que leur déterminant fonctionnel'S soit identiquement nul^ quelles que soient les valeurs de a?^, ..., x,^.

Pour fixer les idées, nous prendrons n =3. Les fonctions considérées seront alors

fl6)

et leur déterminant fonctionnel

fl7l

Cela posé,siz^i, z^o, z/gUesont pas indépendantes, il existera entre elles une relation que l'on peut supposer résolue par rapport à l'une de ces quantités, à u^ par exemple ; on aura donc:

et l'on en déduira, en différentiant successivement par rapport

à x^ , j-j, Xn, les équations

qui, par l'élimination de ;^ et de :^' donnent

Ainsi la condition énoncée est nécessaire. Il reste à montrer qu'elle est suffisante.

Soit donc J = o, et supposons d'abord que tous les premiers mineurs (obtenus par la suppression simultanée d'une ligne et d'une colonne) ne soient pas nuls ; soit, par exemple,

Les deux dernières équations (16)

détermineront x^ et .To, comme fonctions implicites de x^, ih et Wg (n° 91), et en différentiant par rapport à x^ chacune des équations (18), on aura les relations

ùX^ tto^o ~àx^ ^x^ 'i)x^ \ ^ 'bx^ ^x^ ~àx^ "' c)a?3 bx^

qui, puisque J^ n'est pas nul, détermineront les dérivées partielles

7>x,^ bo:;^

Mais, si dans la première équation (16)

on remplace les fonctions a^o et x.^ parleurs valeurs en x^, u.,, u^,

on aura

et, par suite,

<)^^ ^Xf 21X2 SoJg 'dXj^ 'dXf

Cela posé, l'élimination de —'et de — ^ entre l'équation (21)

et les deux équations (19) donne

'èx^ i>x^ '^x^

c'est-à-dire

Gomme J est nul sans que Jj le soit, il faut que —^ soit

nul, c'est-à-dire que x^ ne figure pas au second membre de l'équation (20), laquelle se réduit à

et montre que z/|, Uo, u^ ne sont pas indépendantes.

Examinons maintenant le cas où tous les premiers mineurs de J sont nuls.

Les éléments de ce déterminant J ne pouvant être tous nuls, sans quoi les fonctions se réduiraient toutes à des constantes, nous pourrons supposer, par exemple, que

est différent de zéro.

La dernière des équations (16)

déterminera x^ comme fonction implicite de x^^ x^, u^ ; et, en différentiant cette dernière équation successivement par rapport à x^ et à x^^ on aura les relations

qui, puisque^ n'est pas nul, déterminent les dérivées par-

ÔX^

tieiles ^, ^.

■ÔX^ ÔX2

Mais, si dans la première des équations (46)

•on remplace ^2 P^^' ^^ valeur en fonction de x^, X2, it^^ on aura

u^ = F(ar,, a^2, ^3) (23)

€t, par suite,

"hx^ c'a;, cii^s c'a?, ^x^ ^x^ "^ t»a73 t'a;,

Gela posé, si Ton porte dans ces deux équations les valeurs •de —^5 -— ^ tirées des équations (22), on obtient

cX^ 0X2

cia73 c'a?,

c'a?, ()aÎ3 c'a?, c^a?3

et -^ —

M. in c'ajj c)a?3

•et, comme les seconds membres sont nuls sans que ^

vXo

le soit, il faut que:- — et - — soient nuls, c'est-à-dire que la

uXi ^^2

relation (13) se réduise à

M, = F (Wg).

Nous sommes parti de la première des équations (13) ; en partant de la seconde et raisonnant de même, on verrait qu'on a aussi

Les fonctions Wj, i/.^, ti^, ne sont donc pas indépendantes.

La démonstration est instructive en ce qu'elle donne les conditions pour qu'il y ait une, deux... relations entre les fonctions u^^ ..., ^<„.