IX.;, — X

— Xf -{- Ax^ — ■ 4^73

En le développant par rapport à la dernière ligne, on obtient l'expression

4(2a72 — ^3) — 2 (.57, -{- 2073) + 2 (— aj^ -\- Ax.^ — Ax^),

qui est identiquement nulle ; donc les fonctions proposées ne sont pas indépendantes. En outre, il est bien évident que le mineur résultant de la suppression de la dernière ligne et de la dernière colonne est différent de zéro ; donc il n'existe qu'une relation entre z/j, z/.,, ii^.

Il est aisé de constater que cette relation est :

u'j — ul = Au^.

Division de la cj[uestioii. — Leinine préliminaire

99. On a souvent besoin, dans le cours d'une recherche, de remplacer les variables primitives par d'autres ayant avec elles des relations données qu'on nomme formules de transformation.

Pour procéder du simple au composé, nous distinguerons quatre cas, suivant qu'il y a une ou plusieurs variables indépendantes, et selon que le changement ne porte que sur cette variable ou sur les variables, ou qu'il atteint aussi la fonction.

100. Avant de traiter ces quatre cas, nous résoudrons la question préliminaire que voici :

y étant une fonction d'une variable indépendante x^ on demande d'exprimer les dérivées successives y', ij\ y"', ..., de y par rcqyport à x en fonction des différentielles de x et de y considérées comme fonctions d'une même variable indépendante quelconque non spécifiée.

On sait d'abord que la dérivée première y' est égale au quotient de dy par dx.

En appliquant dès lors à la fraction

la règle de différentiation d'un quotient, on obtient

,. , dxd'hi — d^xdii

dti ou XI dx = = — —z =- 5

dx-

d'où

„ dxd^i/ — dyd'^x ,

La même règle appliquée à cette nouvelle fraction donne

, ,/ II,, dx^ [dxd^y — dyd^x) — ^dx^d^x [dxd^y — dyd^x)

y on y x .- ^—

d'où

,„ dx {dxd?y — dyd'^x) — M-x [dxd'^y — dyd^x)

dx^

et ainsi de suite.

On voit que y'"^ s'exprime en fonction de dx^ d~x, ..., c/V, dy, d'y, ..., d"y.

Premier problème :

changement de la variable indépendante

lOl. Soit V îine expression renfermant une variable indépendante x, une fonction y de cette variable et les dérivées successives y\ y\ y'"'. Que devient V expression V quand on substitue à la variable indépendante x une autre variable indépendante /, liée à x et à y par une relation donnée ?

On commencera par transformer, à l'aide des formules (1), (2), (3), ...,rexpressionV en une autre V(, où la variable indépendante ne sera pas désignée. Vj contiendra x, y et leurs différentielles successives, et il restera à chasser de cette expression x et ses différentielles; on y parviendra en tirant X, dx, d~x, ..., delà relation donnée et des équations qui résultent de la différentiation de cette relation de transforma-

tion; on aura soin, dans ces différentiations successives, de considérer / comme la variable indépendante, c'est-à-dire de supposer dt constant.

Si la formule de transformation a la forme simple

x = f(t), on aura

dx =r{t) dt, d^x = f'\t) di\

Si la formule de transformation a la forme générale

çb(^, y, t) = G, on aura, pour calculer dx, d-.r^ ...,les équations

/ ^-cc <)^cp ^^cp , , \

Ï02. Exemple. — Que devient l'équation ^^j-^-^

(1^ — x^) y" — xy' -\- n^y = o, ^(4)

quand on substitue à la \'ariable indépendante a: la variable i liée à X par la relation

X =z ces/. (5)

Les formules (1) et (2) permettent de mettre (4) sous la forme

(1 ^.) dxd^-y --dyd^x ^^^ ,2y ^ ,, (6)

où la variable indépendante n'est pas désignée.

D'autre part, la formule de transformation (5) donne

(/ic = — sin tdl, d'-x =: — cos t df'^ ; (7)

en portant les valeurs (5) et (7) dans (6), on obtient, réductions faites,

fr + ^V==o (8)

pour la transformée demandée.

Deuxième problème : clianç|emeiit de la variable indépemlaiite et tle la fonction

i03. Soit Y iiuf expression contenant une variable pendante .y, une fonction y de cette variable et ses dérivées successives y\ y", y"\ ... Que devient l'expression V quand on substitue à x et à y deux nouvelles variables u et w liées aux premières par deux relations

<^{x, y, if, w) =^ o, ^\> [œ, y, u, îo) = o, [9)

où udésiyne la nouvelle variable indépendante^ et ic la nouvelle fonction .

On commencera par Iransformer, à l'aide des formules (1), (2), (3), ..., l'expression V en une autre V|Oiî la variable indépendante n'est pas désignée. Cette expression Vj contiendra

x^ y, dx, dy^ d^x^ d'^yi d'-^x, d'^y, ...

et il restera à calculer ces quantités à l'aide des relations (9) et des équations que l'on en déduit par différentiations successives, en ayant soin de considérer dans ces différentiations u comme la variable indépendante, c'est-à-dire de supposer du constant.