Exemple. — Quelle est la transformée de l'expression
lorsqu'à la variable indépendante ^ et à la fonction y on substitue les variables p et 6 liées à j? et y par les relations
a; = p CCS 0, 2/ = p sin ô, (11)
011 9 désigne la nouvelle variable indépendante.
Les formules (1) et (2) permettent de mettre l'expression (10) sous la forme
1 {dx(Py — di/d^x)'^ ,.„,
R2 ~ [dx'^ + dy'^Y ' ^ '
Or la première différentiation des relations (12) donne
dx = dp cos 0 — p sin bdd | ,.„.
- ' dy = dp sin 0 -j- p cos Ô(i6 ; (
puis on a par une seconde différentiation (où f/0 est constant)
d^x = c/2p COS 0 — 24 sinOdb — p cos SofÔ^ j d'^y = c^^psinO + 2c/p cos Oc/O — psinOc/Ô^, j
La substitution des valeurs (13) et (14) dans (12) donne pour la transformée cherchée
h = "= r ""'/.;.x2nr ^ * (1^)
Nous verrons plus tard que l'expression (10) est celle du rayon de courbure d'une courbe plane en coordonnées rectilignes rectangulaires. On sait, d'ailleurs, que les formules (11)
sont celles qui lient les coordonnées rectangulaires x et y aux coordonnées polaires p et 6; l'expression (15) est donc celle du rayon de courbure en coordonnées polaires.
Il y a souvent avantage à introduire, dans les formules
relatives aux coordonnées polaires, l'inverse r= -du rayon
P vecteur au lieu du rayon vecteur lui-même.
Pour avoir la transformée de la formule (15) dans cette
hypothèse, il suffit de substituer dans cette formule les
valeurs
r d^ ~~ r^ dd' dd'^ ~ ~~ r^ d^'^ '"r^ Wô
ce qui donne
105. Il arrive parfois que les relations de transformation contiennent des différentielles. Voici un exemple de ce cas.
Considérons la formule (10) ou plutôt la transformée (12) dans laquelle la variable indépendante n'est pas spécifiée, et supposons qu'on choisisse cette variable indépendante s telle que l'on ait :
dxP- 4- d%f = dsK (17)
La dilférentiation de cette relation donne (en observant que, s étant la variable indépendante, on a drs^o)
dxd^x -f- dyd'^y = o.
On a d'après cela
[dxd'^y — dyd'^Xj'^ = [dxd^y — dyd'^x)^ -\- [dxd-x -{- dyd'^y)^ = [dx'^ + dy-'^) [[d-^xY + [dhjY] = ds^ [{d^xY + [d^-yY],
112 GHAPITHE VIII
et, par suite, en vertu de (12),
