ERRATUM

Page 14, ligne 2, au lieu de : f {x), lire : f (c).

19, 6, au lieu de : « égale », lire : « inférieure ».

35, 11, au lieu de : y (a:), lire : <p' (x).

37, 9, au lieu de : <p' {x), lire : f' (x).

39, 15, au lieu de : f (c), lire : f (c).

46, 1, en remontant, au lieu de : '■-, lire : -■

49, 10, en remontant, lire : « lorsque u est positif, le rap-

port — est égal ...

83, 8, en remontant, au lieu de : ^r — r— r— •> lire:

92, 1, du n", au lieu de : u'^, lire : Un-

93, Dans le déterminant intervertir Tordre des deux lignes horizontales.

94, ligne 7, en remontant, au lieu de : 3 r-— — u'-, lire : 3 <— r — «-•

OTOU- ^x^u''

95, 7, au lieu de : J, life : K.

97, 4, au lieu de : J, lire: K.

100, Première ligne du déterminant J, au lieu de : r-^i lire : —-^ •

103, Dans l'équation (21j, au lieu de : :-^> lire : r— ^•

t'./'j vx i

104, ligne 6, au Heu de : —'-^i lire : —^

et au lieu de : - — lire : ^—^ox., ox.^

104, ligne 11, au lieu de : « x.^ par », life : « x^ par ».

105, 7, en remontant, devant le dernier 2, au lieu de : ' , /tVe; — . 119, Dans la première équation (43), au lieu de « ady », lire : ady. 123, ligne fi, en remontant, air lieu, de : « T », lire : « P ».

uu ex

127, 11. en remontant, au Heu de : r-j lire : — •

uv vu

133, 7, au Heu de : « s », lire : « £[ ».

134, 10, en remontant, au lieu de : « ces », lire : « ses ». 137. 8, au Heu de : « d'Alcmbert », lire : « Dalembert ». 141, 3, en remontant, au. lieu de : u.,,, ,. lire : u ,, , ,. 233. 16, au lieu de : (// — y.,)-', Hre : (// — y/^)-.

273, 3, nu lieu de : —-: lire : -r—-

290, 1, après quelconque, ell'acor la virgule.

338, 12, en n'iiinnlniil . rlljiccr li' n" .'i.

Vni ERRATUM

390, Dans la dernière ligne du texte, au Heu de : d'une forme, lire :

conforme d'une.

431, ligne 5, au lieu de : (2-, lire : jS/j. 498, 9, en remontant, au lieu de: « disons, que», lire: « dirons

que ».

498, 8, en remontant, au lieu de : voulons, lire : voudrons.

546, au lieu de : X étant en fonttion de m et de v, lire : (X étant

fonction de u et de o).

Défîiiition et Uôle tles iiifinîiueiit petils

1 . On nomme infiniment petit toute quantité variable ayant pour limite zéro.

L'Anahjse infinité simal<% créée vers la iin du xyh" siècle par Leibnitz et Newton, a pour objet l'emploi des infiniment petits pour l'évaluation des quantités finies.

Les infiniment petits peuvent intervenir de deux manières: la grandeur à évaluer peut, en etTet, se présenter soit comme la limite du rapport de deux infiniment petits, soit comme la limite d'une somme d'infiniment petits dont le nombre croît indéfiniment. De là, la division de l'analyse infinitésimale en deux branches : le calcul différentiel et le calcul intégral .

Problème des tangentes; oriçjîne dn oaleul différentiel

2. C'est le problème des tangentes qui adonné naissance au calcul diiïéi'entiel.

Considérons une courbe plane {fgA) dont l'équation en coordonnées rectili^ncs est //=/(.r). Prenons sur cette courbe deux points M et M' correspondant i-espectivement aux abs-

CAi,f:ui, iM'ixrrÉsiM.vi,. l

cisses X et x + h. La tangente au point M est, par définition, la limite des positions que prend la sécante MM'S lorsque, M restant fixe, M' vient, en restant sur la conrbe, se con-

FlG. 1

fondre avec le point M. Or, d'après la théorie analytique de la ligne droite, le coefficient angulaire de la sécante MM' s'obtient en divisant la différence f [x -\- h) — f [x] des ordonnées des points M' et M par la différence h de leurs abscisses. Par suite, le coefficient angulaire de la tangente MT est égal à la limite du rapport :

lorsque h tond vers zéro.

Ainsi, dans ce problème, le nombre cherché se présente comme la limite du rapport de deux différences infiniment petites.

On appelle dérivée d'une fonction /" (z) la limite du rapport (1), c'est-à-dire du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement correspondant de la variable x, lorsque ce dernier accroissement (positif ou négatif) tend vers zéro. De là cette proposition : le coefficient angulaire fie la tangente à une courbe plane est égal à la dérivée de l'ordonnée considérée comme fonction de l'abscisse.

Problème des quadratures; Origine du calcul intégral

3. C'est \e problème des quadratures qui adonné naissance au calcul intégral.

Proposons-nous d'évaluer l'aire du trapèze mixtiligne aAM[j, compris entre un arc A^i de courbe plane rapportée à des axes rectangulaires, les deux ordonnées extrêmes aA, i)M et l'axe des X. Nous supposerons, d'ailleurs, pour plus de, simplicité, que l'ordonnée de la courbe PQ reste positive et croissante depuis aA jusqu'à [/M.

Décomposons la base y.\j. en parties a3,3v, -^ij-, égales ou

inégales; désignons par .r,,, ./•[, .ro, r^, les abscisses des

points a, i3i 7\ V-i et par //q, y,, //o, ya les ordonnées

correspondantes.

En menant par l'extrémité de chaque ordonnée une parallèle à OX jusqu'à sa rencontre avec l'ordonnée précédente et

FiG. 2

avec l'ordonnée suivante, on forme une suite de rectangles inscrits aAAoiS, 3^Boy, •^IIHoIj. dont les aires ont une somme

inférieure à l'aire ï du trapèze curviligne considéré, et une

suite de rectangles circonscrits aBjB^, j^CiCy, •/;M^M;j, dont

les aires ont une somme

S = {x^ — r/^o) y, -f- {.r^ — x^j ^2 + ••• + [^^[>. — ^i>--\) V^ supérieure à ï. On a donc

.s < T < * + (S — s). ■ Mais si Toa désigne par o le plus grand des intervalles

•^1 — -^0' ^i — -^[1 ■^!J.-J^|j.-i 1 on voit que la différence S — s

tend vers zéro avec o, puisqu'elle est moindre que

û (^1 — ?/o -h ^2 — 2/i + ••• + .Vjj. — yv-\)^

c'est-à-dire que

^ [Vv. — ^0 '

Par suite l'aire T est la limite vers laquelle tend la somme lorsque cliacun des intervalles j-j — -Tq, x.^ — .r,,..../;j. — ./■ tend vers zéro.

Ainsi, dans le problème des aires, la grandeur à évaluer se présente comme la limite d'une somme d'infiniment petits dont le nombre croît indéliniment.

Telle est, traduite dans le langage mathématique actuel, la méthode suivie par les géomètres de l'antiquité pour la résolution du problème des quadratures, en sorte qu'on peut dire avec Lcibnitz (lettre à Wallis, 29 décembre 1698) que le calcul intégral remonte jusqu'à Archimède,

Corrélation eiiti*e le calcul clifïéreiitiel et le calcul iiitégî'al ; objet de chacun d'eux

4. Les géomètres du xvii° siècle se sont placés, pour résoudre le même problème, à un point de vue tout différent. Au lieu de calculer directement la somme s et d'en

FiG. 3

déduire sa limite, ils ont ramené la recherche de Taire à celle d'une fonction ayant une dérivée donnée. Voici comment :

Soit c; l'aire du trapèze mixtiligne y.\M[j. compris entre un arc AM de courbe plane, Taxe des x, une ordonnée fixe aA et l'ordonnée M[j- = /'{-r) qui correspond aune abscisse variable 0[x =^ X.

a est une fonction de x\ et, dès qu'on a possédé la notion de la dérivée, on a été naturellement conduit à chercher la dérivée de cette fonction a.

Or, quand x varie de \j.\j! , j varie d'une quantité égale à l'aire du trapèze mixtiligne [/MM';/, lequel, si \}.\j! est assez petit, se trouve compris entre les rectangles [j.MIij/, ;j,KM'i/ obtenus en menant MI et JNl'K parallèles à OX. Mais ces deux rectangles ont respectivement pour mesure les produits

Le rapport

y.MMV

est donc compris entre M;x et M';/ et, par suite, sa limite est M;j. lorsque [j.\j.' tend vers zéro.

Donc Yaire du trapèze mixtiligne xkM\). a pour dérivée rordoimée M[/ = / [x] qui correspond à Vahsci.'^ne variable 0;x = ./•.

La question des quadratures se trouve ramenée de la sorte à la recherche d'une fonction ayant pour dérivée /(./), c'est-àdire au problème analytique inverse de celui auquel conduit le problème des tangentes.

^. Le passage d'une fonction à sa dérivée et le retour de la dérivée à la fonction primitive ont constitué, dès le début, l'unique objet du calcul ditférentiel et du calcul intégral. Mais bientôt des généralisations se sont offertes. D'abord, la dérivée d'une fonction étant une fonction de la même variable, on peut calculer la dérivée de cette dérivée, ou dérivée du second ordre, puis prendre la dérivée de celle-ci <{u'oii nomme dérivée du troisiétne ordre et ainsi de suite. D'autre part, si l'on considère une fonction de plusieurs variables ,/■, y, ;, on peut chercher la dérivée de cette fonction en ne faisant varier que ./• et traitant y et z comme

des constantes ; on obtient ainsi ce qu'on appelle la dérku^e 'partielle par rapport à x, et il existe de même une dérivée par rapport à chacune des autres variables y ^i z. Enfin ces dérivées partielles, étant à leur tour des fonctions de^, y, -S, donneront chacane des dérivées partielles du second ordre et ainsi de suite.

Grâce à ces considérations, nous pouvons maintenant préciser l'objet du calcul différentiel et celui du calcul intégral.

Le calcul différentiel comprend l'ensemble des règles relatives au calcul des dérivées des divers ordres des fonctions explicites ou implicites d'une ou de plusieurs variables indépendantes.

Le calcul intégral comprend l'ensemble des méthodes propres à déterminer des fonctions d'après des équations oii ces fonctions sont engagées avec leurs dérivées des divers ordres et les variables indépendantes.

Ajoutons que le calcul intégral a donné naissance à un grand nombre de fonctions nouvelles, dont l'étude a étendu singulièrement le domaine de l'analyse. Sous ce rapport, le calcul infinitésimal est la continuation de l'algèbre, et on pourrait, non sans raison, aujourd'hui mieux qu'à l'époque de Lagrange, lui attribuer la dénomination de théorie des fonctions.

Nous compléterons cette introduction en exposant les propriétés fondamentales des infiniment petits.

ïiiûuiiiieiit petits des divers ordres

6. Lorsque plusieurs infiniment petits figurent dans une môme question, on choisit l'un d'eux a pour terme de comparaison, et on lui donne le nom à\infiniment petit principal ; alors, si un autre infiniment petit 3 est tel que son rapport à la n™° puissance de y. ait une limite k déterminée (^) et ditTé-

(') Observons ici, une fois pour toutes, que Vinfuii n'est jDas une quantité déterminée, sans quoi on pourrait l'augmenter, ce qui serait contradictoire. Quand on dit qu'une grandeur devient infinie, on entend par là qu'elle prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, de manière à surpasser toute quantité donnée si grande qu'elle soit.

rente de zéro, on dit que [3 est du 7?™° ordre et que sa valeur principale est /t;a° ; on peut écrire d'après cela

d'où

. P. = h-jJ^ (1 + s), (2)

£ étant infiniment petit.

Voici quelques exemples :

r On sait, par la Trigonométrie, que les rapports

sin (p i^x

ce X

ont l'unité pour limite; et il résulte de la formule

ces a;

^SUl

que