La série

où a désigne un nombre positif quelconque, est convergente si a est plus grand que 1, et divergente si a est égal ou inférieur à 1.

En effet :

Soit d'abord a >> 1, et posons

Uj^

la série

proposée deviendra

Wi,

mais on a évidemment

If, = 1,

ga-l

les termes de la série (6) sont donc respectivement moindres que ceux d'une progression dont la raison

est inférieure à 1, puisque, a étant >> 1, 2^~^ est plus grand que l'unité. Il y a donc convergence (n" 123).

Dans le cas où a = 1, la série (5) n'est autre que la série harmonique dont on a démontré la divergence aun" 118.

Soit enfin x <[ 1 ; on a alors

136 CHAPITRE IX ij

par suite, les termes de la série (5) étant supérieurs aux termes correspondants de la série harmonique, il y a encore divergence (n" 123).