log 4 "^ 2 2 log
""^ -^ 8 log 8 -^ 3 " 2 log 2 '
^■* ^ 16 log 16 -^ 4 ' 21og2 '
Les termes de la série (8) sont donc respectivement plus grands que ceux de la série harmonique multipliés par le
facteur 7^^ — p: ; il y a donc divergence (n° 123). 2log2' -^ ^ ' .
126. Une série à termes positif s est divergente si nii^ tend^ pourn = 00, vers une limite A plus grande que zéro. En effet, q désignant un nombre fixe pris à volonté entre 0 et a, on
q aura, à partir d'un certain rang, :^iz^j>-Ç',d'oiit^„>-- jlestermes
de la série seront donc plus grands que ceux de la série
harmonique multipliés par le facteur-; il y a donc divergence (n° 123).
Règles de cl'Aleinbert et tle Cauchy
127. Une série à termes positifs u^^ Uo, ••■, w,n •■, ^^t convergente si le rapport
Un
dhin terme au précédent tend^ lorsque n croit indéfiniment., vers une limite A inférieure à V unité; elle est divergente., si le rappjort (9) a une limite a p)lus grande que l'unité.
En effet, désignons par q un nombre fixe pris à volonté entre 1 et a.
Si A est plus petit que 1, le rapport (9) sera, à partir d'un certain rang n, aussi voisin de a qu'on voudra et par suite inférieur h. q. On aura donc
Par suite, à partir d'un certain rang, les termes de la série considérée seront inférieurs aux termes corres-
pondants de la progression géométrique décroissante
M„, q . Un, q^ . u,n q^ • M„, ...;
il y aura donc convergence (n°' 117 et 123) (^).
Si A est plus grand que 1, le rapport (9) sera, à partir d'un certain rang, supérieur àç», et comme q est plus grand que 1 ; les termes iront donc en augmentant, et il y aura divergence, puisque le terme général ne tendra pas vers zéro.
La règle précédente, attribuée à Dalembert, n'apprend
rien dans le cas où le rapport (9) a pour limite l'unité. La
série peut être alors soit convergente, soit divergente. Par
exemple, si l'on considère la série dont le terme général est
— et celle dont le terme général est — ' on sait (n° 12i) lue la
prerriière est divergente et que la seconde est convergente;
et, pourtant, dans les deux cas, le rapport (9) a l'unité pour
limite.
Il importe toutefois de remarquer que, si le rapport (9)
tend vers 1 en restant à partir d'un certain rang supérieur
à 1, la série est divergente ; car les termes finissent par aller
toujours en croissant.
128. Une série à termes positifs u^^ z^o, ..., u^, ..., est convergente si V expression
tend^ lorsque n croit indéfiniment^ vers une limite a inférieure à l'unité. Elle est divergente si ce rapport a une- limite plus grande que l'unité.
En effet, soit q un nombre pris à volonté entre 1 et a.
Si A est moindre que 1, l'expression (10) sera, à partir d'un
(1") On voit que notre énoncé est plus restrictif que la démonstration ; le raisonnement ne suppose pas en effet que le rapport (9) ait une limite ; il ne lui impose que la condition de finir par reste inférieur à un nombre fixe moindre que l'unité. Mais l'extension qu'on peut ainsi donner à l'énoncé, et qui mérite d'être signalée au point de vue théorique, n'a en réalité aucune importance pratique.
certain rang, inférieure h q ; on aura donc
Un < q'\
et il y aura convergence, puisque les termes seront, à partir d'un certain rang, inférieurs à ceux de la progression géométrique décroissante g, ç'q, ç'o ..., Çn, •••
Si A est plus grand que 1, l'expression (10) sera, à partir d'un certain rang supérieure à ^ ; on aura donc u^ > ç-", et par suite la série sera divergente, puisque, q étant supérieur à 1, son terme général u,^ croîtra au lieu de tendre vers zéro.
Cette règle, attribuée à Gauchy, laisse comme celle de Dalembert un cas douteux, c'est celui oii l'expression (10) a pour limite l'unité; toutefois on peut affirmer qu'il y a divergence, lorsque l'expression (10) tend vers 1 en restant à partir d'un certain rang supérieure à 1 .
