Exemples
1° Soit la série
lA/ lAy lAy 1 tJU i
où X représente un nombre positif. On a
et par suite
lim — — = X ;
Un
la série est donc convergente si x est >■ 1, et divergente si a: est < 1. On sait d'ailleurs qu'elle est encore divergente pour a;= 1, puisqu'elle se réduit alors à la série harmonique.
2" Soit la série
IL j \
Le rapport -'^-^ a ici pour valeur alternativement 2 et -;
il n'a donc pas de limite déterminée, et la règle de Dalembert n'est pas applicable. Mais, pour V?^„, on trouve
et
si n
est impair,
^ si n est pair ;
on a donc bien \/w„ = -■> et, par suite, en vertu de la règle de Cauchy, la série est convergente.
130. L'exemple qui précède montre que l'expression V^^w peut avoir, pour n= ce, une limite déterminée, sans qu'il
en soit de même du rapport — ^^•
fit .
Mais la réciproque n'est pas vraie. Si le rapport — ^^
a une limite déterminée a, pour n =^ rx) ^ l'expression '\jun aura aussi une limite déterminée, et cette limite sera précisément égale à A.
En etïet, d'après l'hypothèse, le raport — ^^ reste, à partir
d'une certaine valeur de n, compris entre a — £ et a + a, £ étant un nombre positif aussi petit qu'on veut. On peut même supposer cette valeur de n égale à l'unité (cela revient à supprimer en tête de la série un nombre fini de termes). On aura donc
d'où en multipliant
(X - s)'' < ^^ < X + e)«, OU
ce qui montre que '\JUn a pour limite a, puisque \ju^ tend vers l'unité.
llègle de Kuniiner
131. La règle de Dalembert n'est qu'un cas très particulier d'une proposition due à Kummer et fertile en conséquences relativement à la convergence des séries. Voici cette proposition:
Soit cin-iine fonction positive de n. La série à termes positifs z^i, ^^.^, ..., Un, ..., est convergente, si F expression
Un — '~ — an + ^ (11)
a. pour n, = œ , une limite positive X. Elle est divergente, si l'expression [li) a une limite négative et si, de plus, la série
qui a pour terme général — est divergente.
En effet, soit q un nombre choisi à volonté entre o et a. L'expression (11) sera, à partir d'une certaine valeur/* de n, supérieure à ç-, et l'on aura
on en déduit par addition
et a fortiori
O;, <C Jp -y- ~ ClpUp.
La somme S,j reste donc, quand n croît indéfiniment, inférieure à une quantité fixe positive, et par suite (n° 123) la série est convergente.
Pour démontrer la seconde partie du théorème, il suffit d'observer que, si l'expression (M) a une limite négative, cette expression restera négative à partir d'une certaine valeur p de ;?, en sorte qu'on aura
Clptlp <^ U. p j^ ^U p j- ^ <^ ... <^ (^lAhi ,
d'où l'on déduit
Un > OpUp . — •
Les termes de la série considérée sont donc, à partir d'un certain rang, supérieurs à ceux de la série
et comme cette série est supposée divergente, la série proposée l'est aussi.
132. Le théorème de Kummer fournit une infinité de règles particulières, suivant le choix que l'on fait de la fonction positive «,j. Nous nous bornerons à citer les plus intéressantes : ce sont celles oii l'on prend pour «„ l'une des quantités
1, n, n logw ;
dans chacun de ces cas, la série qui a pour ternie vénérai —
est évidemment divergente, comme l'exige d'ailleurs la seconde partie de la règle de Kummer.
V Pour a„= 1, Texpression (11) se réduit à
Or, dire que cette expression a une limite positive ou négative équivaut à dire que le rapport " "^ ^ a une limite infé-
rieure ou supérieure à l'unité; on retombe donc sur la règle de Dalembert.
2" Pour «„ = ;i, l'expression devient
et l'on tombe sur une règle due à Duhamel. 3" Pour «„ ^ 71 log ;i, l'expression (11) devient
n \ogn -. (^^) — [71 -f- 1) l<)g'(n + 1), (13)
et l'on retrouve ainsi une règle due à M. Bertrand.
IJèçjle de iiaiiss
lîiîî. Nous avons déjà fait observer que l'on ne pouvait rien affirmer sur la convergence- ou la divergence d'une série
à termes positifs, lorsque le rapport " "^ ' avait l'unité pour
limite (sans finir par rester toujours supérieur à cette limite).
Gauss à donné pour lever ce d<mte une règle très simple, relative au cas oii le rapport en question s'exprime par une fraction rationnelle de /i. Ce cas, fréquent dans la pratique, est moins particulier qu'on serait tenté de le croire au
premier abord, si l'on oubliait de remarquer qu'il n'est nullement question ici des valeurs de u„ et de u^ + 1, mais seulement de leur rapport.
Puisque le rapport a pour hypothèse l'unité pour limite, le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle qui l'exprime doivent être des polynômes ayant même degré et même premier terme ; et dès lors, en divisant haut et bas par le coefficient de ce premier terme, on voit que le rapport considéré doit être de la forme
Gela posé, voici l'énoncé du théorème de Gauss : Pour qiCune série telle que le rapport rTun terme au précédent ait la forme (14) soit convergente, il faut et il suffit que la différence A — a soit plus grande que Vunité.
