On peut mettre la relation (14) sous la forme

ii„ A — a . H

H étant une fonction de n qui reste finie lorsque n croit indéfiniment, et substituer à la règle de Gauss la suivante qui est un peu plus générale :

Si l'on a

h désignant un nombre et H une fonction de n qui reste finie, la série à termes positif s u^, ..., u,, ••••, est convergente lorsque h est supérieur à 1 et divergente lorsque h est égal ou inférieur à 1.

La démonstration est une simple application des règles du numéro précédent.

En effet, d'abord, eu égard à la formule (15), l'expression (12, n° 132) devient

d'où l'on voit que cette expression a pour limite k — 1, et par suite (n" 133), que la série est convergente pour A > 1 et divergente pour h <i i.

Supposons maintenant A =-- 1, auquel cas l'expression (15) devient

et par suite l'expression (13, n" 132) se réduit à \osn , t/, , 1\" /. , 1

cette expression ayant pour limite — 1, la série proposée est divergente (n" 133).