Exemples

1° Soit la série

On a ici

xi,t n -\- \

cette expression comparée à (14) donne

et par suite A — « ^ :^; la série est donc divergente (n° 133). 2° Soit la série dont le terme général est

" "~ 2.4.6 ... (2w 4- 2) 2nH-3 on a

M„ [In 4- 4) (2n + 5) ^^ ^ 2 "^ "^ •'

r,A'.i:iL I.M'IiMTKSniAI,.

cette expression, comparée à (14), donne

et par suite A — a = -; la série proposée est donc convergente (n° 133).

Série alternée

136. Quand les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs, on dit que la série est alternée.

Une série alternée est convergente si, à partir d'un certain rang, chaque terme est inférieur en valeur absolue à celui qui le précède, et si le terme général u^^ tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

En effet, faisons abstraction des termes qui précèdent le premier terme positif à partir duquel la loi se manifeste , et mettons les signes en évidence ; la série considérée sera alors représentée par

u^, Ur,, ..., étant des quantités positives, telles que l'on ait

u^ > i^y > M3 ... > M„ > w„ + , < ... et

limw„=o pour n = ce.

Les relations évidentes

.S„ + , — S„ =zp u„ + ^, (16)

OÙ les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les signes inférieurs, montrent que les différences S„ + i — S„, S„+i — S„i ont des signes contraires, puisque Un + t et

(m,j — u,i + i) sont, par hypothèse, positives. En d'autres termes, les sommes successives Sj. So, ..., S„, ... sont telles que chacune d'elles est comprise entre les deux qui la précèdent immédiatement.

Représentons ces sommes par des longueurs

portées sur une même droite, à partir d'un même point 0 et dans le même sens OX. (Nous laissons au lecteur le soin de faire la figure.) D'après ce qui vient d'être dit, Ao tombera entre 0 et Aj, Ao tombera entre Aj et A.,, A^ entre Ao et A3 ... et ainsi de suite. Les sommes de rang pair So = OAo, 84= OA4 ... iront donc en croissant et resteront moindres que l'une quelconque des sommes de rang impair; elles auront donc une limite L. De même les sommes de rang impair S^ = OAj, S., = OA.3 ... iront en décroissant et resteront supérieures à l'une quelconque des sommes de rang pair; elles auront donc aussi vme limite L'. Enfin les limites L et L' seront égales en vertu de la relation (16), puisque par hypothèse u,^^^ tend vers zéro. La série proposée est donc convergente et a pour somme la valeur commune S de L et de L'.

1ÎÎ7. Il résulte de cette démonstration que toute somme de rang pair est une valeur approchée de S par défaut, tandis que toute somme de rang impair est une valeur de S approchée par excès; d'ailleurs l'erreur commise est toujours moindre que la valeur absolue du premier terme négligé, puisque l'addition de ce terme (pris avec son signe) change le sens de l'approximation.