Exemple

1" La série harmonique alternée

est convergente; elle remplit en effet toutes les conditions énoncées au n° 136.

2° La série alternée

est au contraire, divergente ; les valeurs absolues de ses termes vont, il est vrai, en décroissant ; mais le terme général n'a pas zéro pour limite.

Séries dont les termes ont des signes qiieIcon<jnes

139. Pour qiiwie série soit convergente^ il suffit que les modules de ses termes forment une série convergente.

En effet, désignons respectivement par S„ et S'„ la somme des w premiers termes dans la série proposée et dans la série des modules ; soient en outre P„ et — Q,^ la somme des termes positifs et celle des termes négatifs contenue dans S„. On aura

(17) S, = P„ - Q„ et S/, = P„, + Q,„ (18)

Puisque la série des modules est convergente, S'„ tend vers une limite L, quand n croît indéfiniment; et la relation (18) montre que P„ et Q„, qui sont positifs et ne peuvent varier qu'en croissant lorsque n croît, restent l'un et l'autre inférieurs à L. Donc P„ et Q„ ont des limites déterminées P et Q, par suite, en vertu de la relation (17), S„ a pour limite P — Q, ce qui prouve la convergence de la série proposée.

La condition précédente est suffisante, mais elle n'est pas nécessaire. Par exemple, la série harmonique alternée est convergente (n° 138, 1°), tandis que la série des modules, qui n'est autre que la série harmonique ordinaire, est divergente (n'' 118).

On est ainsi conduit à diviser les séries convergentes en

deux classes : celles qu'on nomme absolument convergentes et pour lesquelles la série des modules est convergente, et celles qu'on nomme semi-convercj entes et pour lesquelles la série des modules est divergente.

140. Le simple rapprochement du numéro qui précède et du n» 123 montre (\^une série est absolument convergente si, à partir d'un certain rang, les modules de ses termes sont respectivement moindres que les modules des termes d'une autre série absolument convergente.

Il résulte de là que, si une série

est absolument convergente, il en est de même de la série

où a^, «o, ..., a,„ ... désignent des quantités ayant des signes quelconques mais des modules inférieurs à un nombre positif donné A. En effet, on a

et, par suite, les modules des termes de la seconde série sont inférieurs aux modules des termes de la deuxième multipliés par A.