Si une série
es/ absolument convergente, elle reste convergente et conserve sa somme S, lorsquon modifie arbitrairement l^jrdre des t,ermes.
En eiret, par hypothèse, la série des modules
I «, I , \U.,\, ... I Un\ ,... (20)
est convergente ; par suite la somme
qui est le reste R„ de la série des modules, tend vers zéro quand n croît indéfiniment, et il en est a fortiori de môme de la somme
formée par un certain nombre de termes de (21).
Cela posé, soit S'„' la somme des n premiers termes de la série qui résulte de la proposée (19) par le changement de l'ordre des termes. Quelque grand que soit n, on peut prendre 71 assez grand pour que SV contienne tous les termes de
La différence S'„ — S„ ne contiendra donc que des termes
Wa, ?/|3, ..., Ul,
dont l'indice est supérieur à n; la valeur absolue | S'„ — S„ \ de cette différence est donc moindre que la somme (22); elle tend donc vers zéro quand «, et par suite n\ croissent indéfiniment. Mais alors S„ tend vers S ; donc enfin S'„ a pour limite S.
1=42. Lorsqu'une série est semi-convergente, on ne saurait changer l'ordre des termes sans courir le risque d'altérer la somme de la série ou même de lui faire perdre sa convergence. C'est Dirichlet qui a le premier attiré l'attention sur ces faits, que deux exemples suffiront à mettre en* évidence.
Soit la série
que l'on sait (n°' 138 et 118) être convergente.
Considérons la série
(^-i-î)+(i-i-i)+a-ïï,-é) +•■•■(-)
que l'on déduit de la précédente en faisant suivre d'abord le premier terme positif des deux premiers termes négatifs, puis le second terme positif du troisième et du quatrième termes négatifs, et ainsi de suite.
Nous allons montrer que la série (24) est convergente, mais que sa somme est égale à la moitié de la somme S de la série primitive (23).
En effet, en réduisant à un seul terme les deux premiers termes de chaque trinôme entre parenthèses, la série (24) devient
2 V ^ VB 8/ ^ \10 12/ ^ '
ou
c'est-à-dire la série primitive (23), dont on a multiplié chaque terme par - •
C'est là un exemple du cas où le changement d'ordre des termes altère la somme sans faire perdre à la série sa convergence.
Pour avoir un exemple du cas où le changement d'ordre des termes rend la série divergente, nous considérerons la série semi-convergente (n°' 124 et 136):
En disposant ses termes de la manière suivante :
on forme une nouvelle série dont le terme général
\jAn — 3 \J^n — 1 sj'îi.n
est plus grand que la quantité positive
et a fortiori plus grand que le terme général - de la série
harmonique ; la nouvelle série est donc divergente. Addition et multiplication des séries
