Si les deux séries

Wo» ^h^ •••' ^'M ••• (23)

Uo, v^, ..., w„, ... (26)

sont convergentes et ont i^our sommes resjiectives u et v ; si de jilus Vune d'elles au moins [la jyremière par exemple) est absolument convergente^ la série

iVq, lOi, ..., 10, „ ..., (2-7)

qîd a pour terme général

est convergente et a pour somme le produit uv.

En effet, désignons respectivement par U„, V„, W„ la somme des (;i + 1) premiers termes dans chacune des trois séries considérées. La différence

développée et ordonnée suivant les indices de la lettre u^ a pour expression

0 =u^ (t;„ + ^ + ... + v^„) 4- M„+^ (uo 4- ... + w„,) + ^1 (^« + 1 + ••• + V-m-K) + M„ + a (uq -f ... -|- i;„2)

Nous avons placé les divers termes sur deux colonnes dont l'une contient les termes en Wq, zq, ..., ^^j i et l'autre les termes en ?^, + i, ..., ?^„ ; le terme en ?«;j a disparu.

On a, d'après cela, en considérant les modules

lô|<i'uj.iu„+, + ...4-U2J +h'«+J-h'o + ••• + "«-il j

+ |w, l.|y„-H"+--- + ^2/<-tl + lW''+2l ho + ---H-^"«-2l ( (30) + |m,,-, l.Iy„+,| +l"2"l-l"ol

loi CHAPITRE IX

Mais, puisque la série (25) est absolument convergente et que la série (26) est convergente, on peut assigner deux nombres fixes positifs A et B, tels que l'on ait

D'ailleurs, en vertu du principe général de convergence (n° 120), on peut prendre n assez grand pour qu'on ait, quel que soit ^j», les inégalités

£ étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra. On aura donc, en vertu de (34) et de (32),

et a fortiori., à cause de (31) et de (33),

I 5 I < At + Be ou (A -f B) s;

d'oii l'on voit, puisque AH- B est fixe, que | o | peut devenir moindre que toute quantité donnée. En d'autres termes, l'expression

tend vers zéro, quand n croît indéfiniment, et l'on verrait, par un raisonnement analogue, qu'il en est de même de l'expression

Donc enfin, puisque U„ et U„ + j ont pour limite u et que V„ et V„ + i ont pour limite v, W.^ et Wa,^^! tendent l'un et l'autre vers ^/y, lorsque n croit indéfiniment.

Ce théorème est dû à Gauchy ; mais cet illustre géomètre supposait que les deux séries (25} et (26) étaient absolument convergentes ; c'est M. Mertens qui a montré qu'il suffisait que l'une de ces deux séries fût absolument convergente, l'autre pouvant être simplement convergente.

Remarque

146. La théorie de la convergence des séries fournit un moyen souvent commode pour démontrer qu'une expression 9 (n) a pour limite zéro, lorsque le nombre entier et positif n croit indéfiniment.

Il suffit, en effet, d'après le n° 119, de prouver par un moyen quelconque la convergence de la série dont le terme général est a {n).

Voici deux exemples utiles :

1° L'expression

où. X a. une valeur déterminée et où ii désigne un entier positif, a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment. En effet, la série dont l'expression (35) est le terme général est

convergente, vu que le rapport - d'un terme quelconque

au précédent tend, pour n =c», vers zéro, c'est-à-dire vers une quantité moindre que 1 en valeur absolue . 2° Considérons l'expression

y-iV'-^)-il^--n)^,. (36)

dans laquelle p. désigne un nombre fixe quelconque, n un entier positif, et x une quantité donnée moindre en valeur absolue que l'unité. Cette expression a pour limite zéro, quand /i croît indéfiniment. En effet, la série dont l'expression (36) est le terme général est convergente, vu que le

rapport x d'un terme au précédent tend, pour n = oo,

vers — X, c'est-à-dire a une limite moindre en valeur absolue que l'unité.

Formule de Taylor

147. C'est en 1717, dans l'ouvrage intitulé Methodus incrément or um^ que Taylor a fait connaître la formule célèbre

r[x) = r[a) j^^-^fi^a) + ^^^r («) 4- •.., (i)

sans se préoccuper d'ailleurs des conditions propres à rendre son emploi légitime.

Un siècle devait s'écouler avant qu'il fût question d'évaluer la différence

R = r[p) - f (a) --^r {a) ... -îf;=(^^)/''"-'^(«) (2)

entre f{x) et la somme des n premiers termes de la série de Taylor, c'est-à-dire de la série qui constitue le second membre de la relation (1).

Nous allons faire connaître les principales formes que ce reste R est susceptible de recevoir.

Soient « et x deux nombres donnés quelconques et f[z) une fonction astreinte à rester continue ainsi que ses n — 1 premières dérivées lorsque la variable z est renfermée dans l'intervalle («, x) ; la dérivée suivante /" (z) peut devenir discontinue dans cet intervalle : il suffit qu'elle soit déterminée.

Posons

/> étant Fun quelconque des nombres 1, 2, ..., ??. La recherche du nombre R est ainsi ranienée à celle du nombre P, lequel, en vertu des égalités (2) et (3), se trouve alors défini par la relation

Cela posé, considérons la fonction

^ [z] = fix) - nz) - ^-^ r [z] -i^-i^f (,; ... .

dont la dérivée, suppression faite des termes qui se détruisent deux à deux, se réduit à l'expression très simple

cp' {z) = - ^-^^^=Eflyr ^'" (^) + ^^' ^-'^ "~ '■ (^)

La fonction 9(^1?) s'annule, en vertu de (4), pour z = a\ elle s'annule aussi évidemment pour :; = x. Donc, d'après le théorème de Rolle, sa dérivée 9' (g) s'annule pour une valeur de z comprise entre rtet.r et que l'on peut, par conséquent, représenter par a -\- ^{x ^ a), 0 désignant un nombre inconnu, mais convenablement choisi entre 0 et 1 . Cette condition s'exprime, en vertu de (6), par la formule

o = -[x- ciY -" ^\~^^'^y' n^'' + 0 {X - a)] + Pp,

d'où l'on déduit en résolvant par rapport à P et portant dans (3) ■

148. Cette expression, du reste, qui renferme un nombre j) arbitrairement choisi dans la suite 1, 2, ..., n, n'est pas très usuelle. On lui préfère, dans la pratique, tantôt l'une, tantôt l'autre des deux suivantes :

que l'on déduit de (7) en particularisant le nombre /).

La première (8) est due à Lagrange ; on l'obtient en prenant

tandis que la seconde (9), due à Cauchy, résulte de l'hypothèse

11 est presque superflu d'observer que la quantité inconnue désignée par G n'a pas la même valeur dans les formules (7), (8), (9), toutefois elle est toujours comprise entre 0 et 1 (i).

.149. En résolvant l'équation (2) par rapport hf{x), on a

Cette formule, dans laquelle R représente l'une des expressions (8) et (9) est une généralisation du théorème des accroissements finis.

Il résulte de la formule (10) que remploi de la formule (1)

(1) La formule (7) est la plus récente ; elle a été trouvée en 1858 par Edouard Roche à l'aide du Calcul intégral. On nous permettra de rappeler que nous avons donné dès la même époque la démonstration simple qui précède et qui est applicable aux diverses formes du reste. Voir le Cours d'analyse de M. Hermite; le Ti^aité de calcul différentiel et iiitégiTil de M. Bertrand; ie Cours d'analyse de Sturm revu par M. de Saint-Germain; V Algèbre de Briot; etc.

71 est Jgùime que si le reste R tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment.

150. Souvent on pose x = a -\- h\ la formule (10) prend alors la forme fort usitée

fi^a + h)=na) + \ [fa) + ... + ^^^^/"-''{a) + R (H),

et dans laquelle R désigne l'une des expressions

R = --' fW [a + 6/z), 1

Formule tle Maclaviriii