Pour « = 0, la formule (10) devient

/•(^)=/-(o)+fV'(o) + ...-h(;f^r'-"(o) + R, (13) R devant y être remplacé par l'une des deux expressions

R=fl/"^"'(M (Lagrange), (14)

^= (»!)!' f'"^^'^ (Cauchy), (15)

Si R tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on tombe sur la formule.

r[œ) = no)^lr[o) + ~r{o)Jr- (i")

qui porte le nom de formule de Maclaurin et qui donne le développement de f [x) en série convergente et ordonnée suivant les puissances entières et positives de a:.

Nous allons chercher, par cette méthode, les développements des fonctions élémentaires e"", sinj:, cosjr, log (1 -\- x).

Développement de e"^

15-i. Les dérivées successives de e^ sont égales à e"" \ elles prennent donc toute la valeur 1 pour a; = o, €t par suite la formule de Maclaurin, complétée par le reste de Lagrange (15), devient ici

X ayant une valeur déterminée quelconque. Le premier facteur

du reste tend vers zéro (n" 146) quand n croit indéfiniment ; le second facteur e^"" est fini, puisqu'il est compris entre 1 et e"". Donc le reste R est nul pour n ^= c/d , et l'on a pour le développement de <?"' en série convergente

r/i /yi — /y» 3 ^fl