Considérons la fonction
/•(a;)=log(l-l-^), qui (n° 21) prend une valeur réelle unique pour chaque
FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN 16o
valeur de x supérieure à — i. On a
et par suite
/•(o) = o, r'[o) = i, ..., /■(")(o) = (-l)--' (n-l)!. La formule (14) devient alors
/yi^ yïO /yi/î — 1
log (1 + «^) = j - 2- + j - ... + (- 1)"-^ -^^zn + R' (^9)
le reste R ayant pour expression
si l'on adopte la forme due à Gauchy.
La série
est divergente pour toute valeur de x dont le module est supéi'ieur à i , car le rapport
d'un terme au précédent tend vers — x lorsque n croit indéfiniment ; elle est d'ailleurs divergente pour x = — 1, puisqu'elle se réduit alors à la série harmonique. Il suffit donc d'étudier le reste dans l'intervalle
Or, pour X = 1, l'expression (30) est indéterminée; mais
le reste de Lagrange
[{ + hr
tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment, parce que le second facteur reste fini, tandis que le premier tend vers zéro.
Pour j; compris entre — 1 et 1, le reste (30) est le produit de trois facteurs dont les deux premiers ne peuvent, en valeur absolue, surpasser l'unité, tandis que le dernier tend vers zéro, quand n croit indéfiniment.
Le reste R tend donc vers zéro dans l'hypothèse (31), et l'on a alors
log(l + ^)=f-|- + |-... (32)
160. Au lieu de la formule unique (32), oii ^ varie entre — 1 et 1, on peut ne faire varier x que de 0 à 1 et joindre à la formule (32) la suivante :
ÛC
-\og{i-œ) =^-^-:|--}-^+ ... (33)
Les restes peuvent alors recevoir des formules plus simples. En effet, on peut, dans notre hypothèse, appliquer à la série (32) le théorème relatif aux séries alternées. Le reste est donc moindre en valeur absolue que le premier terme négligé, et l'on a, 6 étant compris entre 0 et 1,
/y» rr*'-^ /7"» » /Y^fl — * A y»/i
log(l+^)-j-|-h^+...-t-(-l)'-^^ .l + (-i)"-'f- (34)
En second lieu, la somme des termes qui dans la série (33) suivent le [n — 1)'^""® est moindre que
et l'on a, G' étant compris entre 0 et 1,
n'll—\
-log(l— 0-)=^ -1-^ + — + ...+ :^ + 6'— f^ r (3î
° ^ ' 1 ' 2 ' 3 ' ' n— 1 ' nii — x) ^
