On en conclut en particulier pour n
log(l + ^-) = x-^'^ (36)
-log(l-«;) =a^ + 0'^^j— ^, (37) -
formules souvent utiles, où x, 0, 6' sont compris entre 0 et 1.
Formules pour le calcul des locjarithines
162. Soient p et q deux nombres positifs quelconques ; p étant le plus grand des deux, si l'on pose
X sera compris entre 0 et 1, et l'on aura
On en déduit
logp — log(/ = log (1 -f- a?) — log(l — a?), ou, en vertu de (32) et (33),
logp - logry = 2 [^ 4- I + I + ... + ^^—-^ ^ ...J- (39)
Cette formule, très convergente dès que x est notablement inférieure à 1, permet de calculer le logarithme de p connaissant celui de q.
L'erreur commise, lorsqu'on se borne aux K premiers termes de la série, est évidemment inférieure à
" [SK + 1 + 2K + 1 + 2K + 1 "^ •■■ J'
OU à
%TpTt4 + ^^ + ^^' + •..],
et enfin à
On peut donc écrire
logp-logg..2[f + 1 + f +-+iëzî + (2K|fxi-^^)]' (^^^
6 étant compris entre 0 et 1 et ^ ayant la signification indiquée par la formule (38).
Par exemple, pour p = N -}- h, q = N et K = 1, il vient
log IN + k) - logN = ^^ (l + ,,^ (f ^ ,))■ (41)
163. Tout ce qui précède se rapporte aux logarithmes népériens. Pour passer aux logarithmes vulgaires, il suffit (n° 22) de multiplier les logarithmes népériens par le nombre
log 10
dont on trouve la valeur de la manière suivante : La formule (40) où l'on fait p = iO, ^ = 8, et par suite
œ = ~^ donne
loglO=31og2 + 2(i + 3i-3+jij+...)-
La même formule ori l'on fait p = 2, q = 1, ei par suite
X =- donne j o
On a donc
loglO = 6 (1 + 3-15 + ^+...)
En calculant chaque terme du second membre avec 28 décimales, puis divisant 1 par la somme ainsi obtenue, on a, avec 25 décimales exactes.
M = T-^rn = 0,43429 44819 03251 82765 11289. log 10
Remarque sur l'emploi des tables de logarithmes
164. Soit?^ + h un nombre positif dont la partie entière n est comprise en 10000 et 100000; on trouve, dans la table supposée à 7 décimales, le logarithme de ?i ainsi que la différence tabulaire
A =: log {n -\- i) — logn.
Cela étant, quand on veut calculer log [n + à) ou, ce qui revient au même, la différence
0 =: log {n -\- h) — logw,
on prend pour valeur approchée de cette différence la quantité O] fournie par la proportion
Il est facile de voir que l'erreur B — o, ainsi commise est moindre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal.
En effet, l'expression
8, = log. (l + ^^) - Mog (l + i)
devient, en vertu de la formule (36) traduite en logarithme vulgaire,
oiî 6 et 9' désignent deux nombres compris l'un et l'autre entre 0 et 1 ; on obtient, en réduisant,
MA,,, ^-^= 2n^ ^' ~ ^^^)'
et par suite, puisque M est (n" 163) moindre que -' et que h
est inférieur à 1,
Nous avons supposé que les logarithmes fournis par la table étaient exacts; en réalité, ils sont entachés d'une erreur en plus ou en moins qui peut atteindre une demiunité du septième ordre décimal, et de ce fait seul résulte sur la valeur de log [n -{- h) une erreur qui peut s'élever à une unité de cet ordre (voir V Introduction aux Tables de Schrôn, n° 14). Cette erreur étant notablement supérieure à celle que nous venons de calculer et qui provient de la proportion (42), l'emploi de cette proportion se trouve pleinement justifié.
Développement de arctg.r
165. Gomme dernière application de la formule de Maclaurin, cherchons le développement de
y = arc tgx.
Nous entendons par là l'arc compris entre — ^ et ,^' dont
la tangente est égale à x.
Si l'on pose
Zy — y = w,
on a (n" 80)
fW [x] = ( — !)"-■' [n — 1) ! sin"« sin nu.
Mais, par hypothèse, quand x est nul, y l'est aussi et, par suite, u est égal à ^ ; on a donc
fW (o) = (— 1)"-^ (n — 1) ! sinw -»
c'est-à-dire
/■" (o) = o si n est pair, et
si 71 est impair.
La formule (13) devient donc ici
arctg..--=a.---f---+... + -^ + R.
Le terme complémentaire a d'ailleurs pour expression
R = ( — IV' -' — sin'* M, s'mnu,.
où îi^ est l'arc compris entre — ^ ^^ ^' satisfaisant à la rela-
tion
cotgw^ = Oa;,
dans laquelle 0. est compris entre 0 et 1.
Il suit de là que, si x est, en valeur absolue, inférieur ou égal à 1, R tend vers zéro lorsque n croit indéfmiment.
Par suite on a pour le développement de arclg.z' en série convergente
arctga; :=^-t — -^ + ""i' — -rr-l- ... (44)
Cette série est d'ailleurs divergente pour | ^ | > 1 ; car le rapport d'un terme au précédent a pour limite j:~, qui, dans ce cas, est supérieur à 1.
Calcul de tc
166. En partant du développement de arctgj", on parvient à une formule qui permet de calculer rapidement le rapport :: de la circonférence au diamètre.
Désignons par ;j l'arc dont la tangente est égale à -> on
aura successivement
tg2p
tg4p =
Jo " 119
L'arc htp est donc un peu plus grand que ';- et, si l'on appelle
q la différence de ces deux nombres, on a
tg(7 — ig(^4j3 — ^j De là résulte la relation
c'est-à-dire, en appliquant la formule (44),
