TS

c'est la relation que nous avions en vue. Il suffit par exemple de calculer 11 termes de la première série et 3 termes de la seconde pour obtenir, pour le nombre t:, la valeur

approchée avec quinze décimales exactes.

Méthode d'ajîproximatioii de IVewtoii

1 67. La formule de Taylor trouve une application intéressante dans la méthode indiquée par Newton, puis complétée par Fourier, pour trouver des valeurs de plus en plus rapprochées d'une racine d'une équation donnée algébrique ou transcendante.

Supposons que, par des substitutions convenablement dirigées, on soit parvenu à séparer une racine Xq de l'équation f (x) = o, c'est-à-dire à trouver deux nombres a et (5 comprenant cette racine inconnue j?,, et n'en comprenant aucune autre.

Nous supposerons en outre les nombres a et 3 assez rapprochés pour que la dérivée seconde /'" (x) conserve un signe constant dans l'intervalle (a, i3); alors, comme /\a) et /' (i6) sont de signes contraires, l'un des nombres (x, 3) rendra le produit /(.x) /"'(a:) positif, tandis que l'autre rendra ce produit négatif.

Cola posé, la niéthode d'approximation dont il s'agit consiste dans la proposition suivante :

Si l'on désigne par a celui des deux nombres y. et 3 qui

rend f [x] et f" [x] de même signe ^ la quantité

sera comjirise entre a et Xq.

En effet on a

À étant un nombre inconnu compris entre a et x^^. D'ailleurs f [a) est différent de zéro, sans quoi la relation précédente deviendrait

o^-na) + ^•'" ~ ^^' r"[i).

ce qui ne peut être, puisque, d'après nos hypothèses, les deux termes du second membre ont le même signe. On peut donc diviser par/''(«) l'équation (47) et la mettre sous la forme

On déduit de (46) et de (48)

{.V, - a,) {a, -a) = ^-ff=^ f" Q^) M ;

le produit

est donc positif, et par suite les quantités

sont rangées par ordre de grandeur (croissante ou décroissante), ce qui démontre le théorème énoncé.

iG8. Ce théorème permet de passer d'une valeur approchée a à une autre a.^ plus approchée que la première et dans le même sens qu'elle.

Pour l'appliquer, on commencera par chercher une limite supérieure de la valeur absolue | x^ — «j | de l'erreur que l'on commet en prenant «^ pour nouvelle valeur approchée.

A cet effet, désignons par M la plus grande valeur absolue de f" {j') dans l'intervalle (a, (5), et posons

2 \r'[a) on aura d'abord évidemment par la formule (48)

Mais la même formule (48) donne aussi

U'o — «( I < ^/ [ i ^0 — «I I + I «1 — ^- I jS

et par suite, eu égard à (49),

Le second membre de cette inégalité paraît compliqué ; mais il n'est pas nécessaire de le calculer exactement, il

suffit de déterminer la puissance de — qui lui est immédiatement supérieure.

Soit -— cette puissance et k la valeur par défaut à moins

de -r-r du quotient

Si a est par défaut, la quantité — ttî—: sera positive, et l'on aura «, = « -}- A' -f- s ; si a est par excès, la quantité — ',., - ; sera négative, et l'on aura «, = a — /»• — s. On

/ W prendra donc pour nouvelle valeur approchée a ± /,-, en

adoptant le signe -f- ou le signe — suivant que a est par défaut ou par excès.

Prenons l'exemple choisi par Newton lui-même ; il s'agit

de l'équation

qui, d'après le théorème de Descartes, ne peut avoir qu'une racine positive et qui en a effectivement une puisque le dernier terme est négatif. Proposons-nous d'évaluer cette racine.

On a

/ [ce] =: x'^ — 2a; — o,

on voit immédiatement que /(2) est négative et / (2, 1) positive : d'ailleurs f" {x) est positive pour toute valeur positive de X. Nous aurons donc ici, d'après les notations que nous avons adoptées,

et par suite le second membre de l'inégalité (50) sera moindre que

Il faut donc évaluer le quotient

par défaut à moins d'un dix millième et retrancher de 2,1 le nombre 0,0054 ainsi obtenu ; cela donne, pour la racine cherchée, la valeur 2,0946 approchée à moins d'un dix millième par excès.