Terminons ce sujet par une remarque importante

/(«i) et f{a) ayant le môme signe, il en sera de même de /(«i) et de/"(ai); on peut donc appliquer à la valeur approchée a^ la règle de Newlon-Fourrier, ce qui donne une nouvelle valeur approchée «.,, et ainsi de suite.

On obtient ainsi, par l'application répétée de la règle en question, une suite indéfinie de valeurs

a^, ti2, a.^, ..., «„, ..., (51)

de plus en plus approchées de la racine x^^ et approchées toujours dans le même sens.

Mais pourra-t-oa de la sorte approcher autant qu'on voudra de la racine ^q? En d'autres termes, la suite (51) a-t-elle pour limite x^ ? La réponse est affirmative.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que a soit par défaut; les nombres (51) vont en croissant et restent inférieurs à ^q-, ils ont donc une limite a. D'ailleurs on a

Or, d'une part, le premier membre tend vers À — À, c'està-dire vers zéro, quand a croit indéfiniment. D'autre part, /'(«„) ne peut être infini, puisque, f"[x) ne changeant pas de signe dans l'intervalle (a, p), f'{x) varie dans le même sens

entre/'(a)et/'(ii).

On a donc

c'est-à-dire

lim / («„) = G, /"(X) = o,

Le nombre \ est donc une racine de l'équation proposée, et, comme il (^st compris entre a et i3 et que l'équation n'a qu'une racine jr^-dans cet intervalle, on doit avoir

ConA^ergence des produits d'une infinité de facteurs