La formule

iog(i + ^)-^— 2(r+^' (S2)

où X est compris entre — 1 et + 1, trouve une application intéressante dans la recherche des conditions de convergence des produits d'un nombre infini de facteurs. On dit qu'un tel produit

est convergent si le produit

tend vers une limite déterminée P différente de zéro, lorsque 7i croît indéfiniment.

Pour que le produit (53) soit convergent, il faut que ses facteurs tendent vers l'îinité quand leur rang auginente indéfiniment. On a on effet :

et, par suite, lim u,^ = 1, puisque les deux termes de la fraction précédente ont l'un et l'autre P pour limite. On est ainsi conduit à poser

U„ = i -\- cx„,

c'est-à-dire à considérer seulement les produits de la forme

Ceci posé, voici un théorème fondamental : Le produit (54) converge, vers une limite différente de zéro^ si les deux séries

5 ont Fune et F autre convergentes ; il a au contraire zéro p our limite si la série (55) est convergente et la série (56) divergente.

En effet, si l'on pose

on a :

logP, = l0g(l + aO + log (d 4- a,) -f ... + log (1 + «„),

OU, en vertu de la formule (52),

log P„ = (a, +«, + ... + «„) (57)

Or, les quantités 1 + 9,aj, 1 -t- 69X2, ..., 1 + 0,ja„, étant positives et ayant l'unité pour limite, la série dont les /i premiers termes forment le crochet qui figure au second membre de (57) est (n" 123) convergente ou divergente en même temps que la série (56).

Donc, en premier lieu, si, la série (55) étant convergente, la série (56) l'est aussi, les deux parties dont se compose log P„ auront l'une et l'autre une limite finie, et par suite P„ aura une limite finie et différente de zéro.

En second lieu, si la série (55) étant convergente, la série (56) est divergente des deux parties dont se compose logP,,, la première aura une limite finie et la seconde tendra vers — GO . Log P„ aura donc — co pour limite, et par suite P„ aura pour limite zéro.

171. Le second cas de l'énoncé précédent ne peut pas se présenter lorsque a^, a.,' •••? "^.n ■•-, sont tous de même signe. En d'autres termes, dans cette hypothèse, si la série (55) est convergente, la série (56) l'est aussi, puisque, dès que les quantités a deviennent moindres que 1 en valeur absolue, la seconde série a ses termes respectivement inférieurs aux termes correspondants de la première.

De là ce théorème : Les produits

ailles quantités aja.,, ... , a„ ..., sont toutes positives, convergent vers une limite différente de zéro, si la série

«n «2' •••: ^ni

est convergente.