Exemples

1° Le produit

oij a est compris entre — 1 et + 1, converge vers une limite difîérente de zéro, car les deux séries

sont convergentes.

2° Le produit

a pour limite zéro, car les seconds membres des binômes forment une série convergente

mais leurs carrés forment la série harmonique, qui est divergente.

173. Les propositions précédentes servent le plus souvent à ramener la recherche de la convergence d'un produit à la recherche de la convergence d'une série. Mais, parfois, on peut au contraire rattacher la recherche de la convergence d'une série à celle d'un produit. Par exemple, soit le produit :

on a

Le produit considéré a donc zéro pour limite ; par suite, la série formée par les seconds termes des facteurs binômes ne saurait (n° 171) être convergente. C'est ce qui a lieu en effet, puisque cette série est la série harmonique.

Dei'iiières remarques sur la formule de Taylor

174. Lorsque f"~^[œ) n'est pas nul, on peut prendre h assez petit pour que le terme

in — i)\

de la formule de Taylor l' emporte en valeur absolue sur le reste correspondant

^ r (^ + oA).

En effet, puisque (n° 147) /" (x + OA) est finie, il suffit, pour satisfaire à l'inégalité

(£rïûr-M».)<f/-"(^ + «'>),

de prendre h inférieur à la valeur absolue de la quantité

qui, dans notre hypothèse, est finie et différente de zéro.