Posons
f G^) = y et
f{oc-{-h)-r{x) = Ay; les quantités
hf' [x] , A Y" (a?) , . . . , h" - ' r'" -*' {^)
seront les différentielles successives
dij, dHj, ..., d"'^y
de y. Si, de plus, on représente par rZ'"?/ l'expression A"/" (n H- ôA), qui est la valeur de la différentielle ?i'^'"* de y correspondant à la valeur x + 6/z de la variable, la formule de Taylor devient
7 ^ d-ij . , d"-^ii . d'''y ,„,
Si l'on suppose h = dx infiniment petit du premier ordre, dy, d~y^ ..., d'^~hj^ d'^y seront en général des infiniment petits ayant pour ordres respectifs 1, 2, ..., n — 1, n. Quand on s'arrête dans le développement de Ay à un certain terme, on a une valeur approchée de l'accroissement infiniment petit de Ja fonction, et l'erreur commise correspondante est un infiniment petit d'un ordre supérieur à celui du dernier • terme conservé.
FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables
176. Soit/ (X, Y) une fonction de deux variables indépendantes dont les dérivées partielles, jusqu'à l'ordre n inclusivement, sont continues tant que X reste compris dans un certain intervalle (A, A') et que Y reste compris dans un intervalle (B, B).
X QÏ X -\- h étant deux nombres pris à volonté entre A et A', et y et y -\- k deux nombres choisis arbitrairement entre B et B', on se propose de développer
suivant les puissances entières positives et croissantes de A et de k.
L'expression précédente est la valeur que prend, pour ^ = 1, la fonction de t définie par les relations
cp(0 =/■(«, p), o: = x^ht, ^.=y^kt. (2)
On obtiendra donc le développement cherché en appli-
quant à ç [t) la formule de Maclaurin
;&(«-') io]
puis, faisant /= 1, ce qui donne
ç(l)r=cp(0)+--^^+ ... +
ctf") foi
6 étant compris entre 0 et 1.
Il reste à calculer ©''"'(z).
On y parvient en appliquant la règle de différentiation de la fonction composée ç (a, 3)i lorsque les fonctions composantes a et 3 sont, comme ici, des fonctions linéaires de t. On sait que cette règle se traduit (n° 87) par la formule symbolique
qui, en vertu des relations
devient
On en déduit
et
où ?/ et V désignent respectivement x -\- Oh ei // -\- Ok.
Il suffit alors de porter ces valeurs dans (3) pour obtenir la formule
qui est celle de Taylor étendue au cas de deux variables.
177. L'extension au cas d'un nombre quelconque de variables n'offre aucune difficulté ni pour le raisonnement, ni pour la composition de la formule.
On donne le nom de reste au dernier terme du second membre ; si ce reste tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, le second membre de la formule (5) devient une série indéfinie qui est convergente et qui a pour somme
11 importe d'observer que cela a toujours lieu lorsque aucune des dérivées de la fonction f [x^ y) ne devient infinie quand on y remplace x par x -\- d/i et y par y H- f)k. Alors, en effet, on peut assigner un nombre 'k qui l'emporte en valeur absolue sur la valeur de toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du reste; par suite, ce reste était moindre en
valeur absolue que -, — r;^ \'U/i -\- k)", tend vers zéro
lorsque n croît indéfiniment.
Autre ïorme de la formule de Taylor
