X ti y étant des variables indépendantes, on a

ox ôy

et symboliquement

si donc on pose

et si l'on désigne par cl'^f ce qui devient la différentielle d"f quand on y remplace x par x -\- gA et y par y + ô^, la formule (5) devient

Elle a la même forme que dans le sens d'une seule variable (n° 175).

Si h = dx, k = dy sont des infiniment petits du premier ordre, chaque terme du second membre est en général infiniment petit par rapport à celui qui le précède, et si Ton s'arrête au [n — 1)™" terme, le reste, c'est-à-dire l'erreur commise, est un infiniment petit d'ordre n.

179. Dans le cas d'une seule variable, la formule de Taylor (n° 147) n'exige la continuité que des n — 1 premières dérivées et n'impose à la dérivée n^" (celle qui figure dans le reste) que la condition d'être déterminée. Mais, dans le cas de plusieurs variables, c'est-à-dire dans le cas de la formule (5), la continuité des dérivées de l'ordre n est nécessaire, puisque cette formule est fondée sur la différentiation des fonctions composées.

Extension de la formule cle Maelaurîn au cas de plusieurs variables

180. Pour étendre la formule de Maclaiirin aux fonctions de plusieurs variables, il suffit de faire j: = o et ?/ = o dans la formule (5), puis d'y remplacer respectivement les lettres h et k par x et y.

On obtient de la sorte

Le reste, lorsqu'on s'arrête au n^"" terme inclusivement, est ce qui devient l'expression

n ! | ôx'^

lorsqu'on rermplace, dans les dérivées qui y figurent^ x ei y respectivement par Ox et 6y, 0 désignant un nombre convenablement choisi entre 0 et 1.

Fondions hoinoyènes

181. On dit qu'une fonction f[x, y, z) de plusieurs variables est homogène et du degré m, lorsque, chaque variable étant multipliée par une indéterminée /, la fonction se trouve multipliée par /'"; en d'autres termes, lorsqu'on a, quel que soit /,

f{tx, ly, tz) = t"r[x,y, z). (9)

Par exemple :

A^2 I 2Ba^2/ + C2/2, "! ~ •^,, -^f^ sin ^

sont des fonctions homogènes, dont les degrés sont respec-

tivement égaux à 2, — 2, y

On voit immédiatement que :

1° La somme algébrique de plusieurs fonctions homogènes, de degré yn, est une fonction homogène du même degré;

2° Le produit de plusieurs fonctions homogènes est une fo nction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;

3" La puissance d'indice quelconque [j, d'une fonction homogène de degré ?u est une fonction homogène dont le degré est ?n\j..

1 8ii. Si, dans l'identité (9\ on fait t =-■> on obtient

rSE,JL£) = f^(^j,^=Jy^î\. (10)

donc une fonction homogène de degré m^ divisée par la puissance m de l'une des variables, ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.

La réciproque est vraie ; si l'on multiplie par a:'" une fonc-

tion quelconque du rapport -^ '^ le produit

est une fonction homogène du degré m des variables x, y, z. Car, si l'on change, dans l'expression précédente, x en te, y en ti/^ on obtient

EXTEiNSION DE LA FORMULE DE TAYLOR 189

On peut donc prendre la relation (10), au lieu de (9) , pour définir les fonctions homogènes.

Gela posé, voici deux propriétés très importantes de ces fonctions.

183. Les dérivées jjartielles du premier ordre d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — 1.

En effet, si l'on différentie par rapport à x les deux membres de l'identité (9), et si, d'après une notation déjà employée plusieurs fois, on désigne par /j, (a, ,3, y) les valeurs que prend pour, ^=: a, y = [3, - = 7^ 1<^ dernière partielle /;. (.r, y, s), on a

d (tx) „, .

n [tJO. ty, iz) -^ = l'-n ',^, y, -,

d[tx)

mais ^ = t ; donc

ni^tX, UJ, iz) = t"'~YJ,{x,2J,z).

C'est la traduction algébrique de l'énoncé.

On déduit de là, immédiatement, que les dérivées partielles du second ordre sont des fonctions homogènes de degré m — 2, ... et, en général, que les dérivées partielles d'ordre k sont des fonctions homogènes du degré )n — k.

184. Le produit d'une fonction homogène par son degré est égal à la somme des produits que l'on obtient en multipliant chaque dérivée partielle du premier ordre par la variable correspondante ; en d'autres termes, on a

(«t!c{oo, y, z) + ///;; (a?, y, z) + zfl [x, v, .") =mf[x, y, z). (U)

On obtient cette relation, en faisant ^ = 1, dans l'égalité

xn[tx,ty,tz) + yr-;j{txMj.tz) + zfl{tx,ty,lz)=ml"'-'f{x,y,z), (12)

qu'on obtient en différenciant l'identité (57) par rapport à /.

Cette proposition, due à Euler, est d'un emploi très fréquent; on lui donne le nom de théorème des fonctions homogènes.

La réciproque est vraie : toute fonction qui satisfait à l'équation (11) est une fonction homogène d'ordre m.

En effet, en remplaçant dans l'identité (11), ^, y, z par te, /y, /s, on a

ocfljc [toc, ty, tz) -}- ijfly [tx, ty, tz) -f zfl- [tx, ty, tz) = jf{tx, iy, tz),

qui, si l'on pose

f{lx,ty,tz) = <s^[;t), (13)

devient

et par suite

logœ (^) = logi"' -t- logC,

ou

<:j[t) = Ct"\

G étant une constante.

On déduit de là, en faisant ^=1,

? (1) = C, et par suite

tp [t] =:'^'«cp(l),

c'est-à-dire, d'après (13),

f{tx, ty, tz) = t'-ri^^y,^)-

Ce qu'il fallait démontrer.

185. Appliquons le théorème précédent successivement à chacune des dérivées partielles du premier ordre /|^, /y, /i,

qui sont des fonctions homogènes de degré m — 1 ; on aura

<x2 + yny 4- ^fxz = [m -i)n,

~ oof'Lj -v yn-2 + ^r;, = {m-i)ri,,

oon'^ + yn. + ^r^ = (m - 1) /^ ;

d'où, en ajoutant, après avoir multiplié respectivement par

= [^n-\){œn-\-ya + zr!).

Le premier membre peut s'écrire symboliquement

H:c + yn + ^nr''\

le second devient, d'après la relation d'Euler (11),

{m — 1) .mf{x, y, z); on a donc

[ocf!, + yfy + ^fzY' = "^ i^n - 1) n

et, en continuant de la sorte, on trouverait de proche en proche

ioon + yr;, + -nr^ = ^n{m - 1) (^ - 2)/-, (14)

{œf^ + yr; + ^/"i)^''^) = m{m — 1) ... {m A + 1) /".

On peut obtenir toutes ces identités d'un seul coup et presque sans calcul, à l'aide de la formule de Taylor relative aux fonctions de plusieurs variables.

Que l'on pose, en elîet, dans l'identité (9) qui sert à définir la fonction homogène, l'indéterminée / par 1 + a, a étant un nombre arbitraire compris entre 0 et 1, on aura

f{x -{-'XX, y -{- a.y, z + as) = (1 + cc)"'f{x, y, z).

Puisque y. est compris entre 0 et 1, le second membre

sera (n" 157) déveioppable en série convergente ordonnée, suivant les surfaces entières positives et croissantes de a ; et il suffit d'égaler le coefficient de a'' dans ce développement

/ nF. , '/^ 1 , m(m — \) ... (771 — /i -{- i) . , 1

r{x, y, z^ 1 -f- - a -^ ... -h -^ iT^TT^ — "■ + ••• J

au coefficient de a'' dans le développement du premier membre par la formule de Taylor

pour obtenir l'identité (14) qui, pour /;=:1, se réduit à l'identité d'Euler (11).

Généralisation de la formule d'apjïroxîmation de IVewton

186. La formule de Taylor, relative au cas de deux variables, permet de généraliser la méthode d'approximation de Newton (n° 167).

Soit (a^Q, ?/q) un système de valeurs de x et de y satisfaisant à deux équations données

f[x,y) = Q, cp(^, t/) = o; (14)

on connaît une valeur approchée a de ^o et une valeur approchée h de yo; on demande de trouver des valeurs plus approchées de deux inconnues a:Q, ï/q.

En posant

x^ = a^li, . yo == ^ + ^% (1^)

on aura

f{a + 7i, è + 11) =0, cp (« -h A, & + /^) = o.

c'est-à-dire, en développant par la formule de Taylor et .s'arrêtant au second terme,

les restes R et p ne contenant que des puissances ou des produits de h et de k d'un degré supérieur au premier.

Si (2 et (î» sont suffisamment approchés, h et k seront assez petits pour qu'on puisse négliger les restes R et p, et prendre pour nouvelles valeurs approchées les quantités

a^= a -\~ /?, b^ ^ b -\- Z?,, (iB)

Aj et Aj étant données par la résolution des équations linéaires

En opérant sur a^ et 6|, comme on l'a fait sur a et b, on obtiendra de nouvelles valeurs approchées «o et h.^, et ainsi de suite.