Une expression analytique qui, pour une certaine
valeur a de la variable j-, se présente sous l'une àes formes indéterminées
%: -, 0.00, 00 — oc, 0^ 1^", oo«',
peut tendre vers une certaine limite ou devenir infinie, lorsque x tend vers a. On convient alors de donner à cette valeur limite finie ou infinie le nom de vraie valeur pour X =. a de l'expression considérée.
Par exemple, on démontre en trigonométrie que l'expression
ëinx
qui, pour x = o, se présente sous la forme t' tend vers 1
lorsque x tend vers zéro ; sa vraie valeur pour x = o est donc égale à l'unité.
Nous allons faire connaître quelques règles qui permettent d'obtenir simplement, dans un grand nombre de cas, les vraies valeurs des formes indéterminées.
Forme -
189. Soient /(j:) et <p (a?) deux fonctions qui ont, dans un certain intervalle, des dérivées déterminées, et qui s'annulent simultanément pour une valeur a appartenant à cet intervalle. Le rapport
se présente sous la forme - pour.r =«, et il s'agit de trouver
sa vraie valeur.
Or, puisque /'(«) et ç («) sont nuls, le rapport (1) peut
s écrire :
il est par suite égal (n" 37) à
CM
(■ étant un nombre compris entre a et x. Donc, comme c tend vers a en même temps que x, si le rapport des dérivées
tend vers une limite^ le rapport (1) tend vers la même limite, et, si le rapport (2) croît indéfiniment, il en sera de même du rapport (1).
Par ce théorème, connu sous le nom de Règle de l'Hospital, on est ramené à examiner comment se comporte le rapport (2) lorsque x tend vers a.
Si les dérivées f {;x) et o' (.2) ne s'annulent pas simultané-
FORMES INDÉTERMIiNÉES 197
ment pour x = «, la valeur finie ou infinie de leur rapport pour X =: a sera la vraie valeur du rapport (1).
Si les dérivées /' (x) et cp'(^) s'annulent à la fois pour x^ rt, on sera, par la règle même de l'Hospital, ramené à voir comment se comporte le rapport
CM
f{oc)
des dérivées secondes lorsque x tend vers a.
En continuant dé la sorte, on verra que, si les fonctions f{x) et q{x) s'annulent ainsi que leurs n — 1 premières dérivées, et si le rapport
/•^'"^ (x) cp<") [x)
des dérivées rï^" tend vers une limite ou devient infini lorsque x tend vers «, le rapport (1) tendra vers la même limite ou deviendra infini pour ^ = a.
190. La formule de Taylor conduirait d'ailleurs immédiatement à cette conclusion. En effet, puisque les fonctions f{x) et 9 (.2') s'annulent ainsi que leurs n — 1 premières dérivées pour ,/■ = a, on a
, , (x — aY , , , „ ' 1 . 2 ... « ' ^
c et c' étant l'un et l'autre compris entre zéro et a. On en déduit l'égalité
/>) r^^ je)
d'où résultent les conclusions ci-dessus, puisque, quand x tend vers a, il en est de même de c et de c'.
