Exemples

1° Soit à trouver la vraie valeur de

10^(1 -]- oc) — 00

pour X = o. Le rapport des dérivées

a pour limite — - ; c'est la vraie valeur demandée.

2° Soit à trouver la vraie valeur, pour ^=o, de l'expression

X sino;

Le rapport des dérivées premières

sino? -f- X ces a;

se présente sous la forme - ; il faut avoir recours au rapport des dérivées secondes

2 cos^ — ■ X sino;'

il tend vers 1 , lorsque x tend vers zéro ; donc l'expression proposée a pour vraie valeur 1, pour x = o.

192. Dans ce qui précède, nous avons supposé que la valeur a de x qui annule les deux fonctions f{x) et (d [x] était finie ; mais la règle de l'Hospital s'applique encore au cas où « est infini.

Pour le voir il suffit de poser x = — Le rapport (1)

devient

cpl -

il se présente sous la forme - pour u = o, et en lui appliquant la règle de l'Hospital on obtient successivement

.r = ocCp(a;) (( = 0 1 /1\ H = o ,/l\ x=-^^'{sc)

en sorte que, dans ce cas encore, la limite du rapport des deux fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées.

h orme ^

193. La forme ^ donne lieu à une règle identique à celle du n" 189 pour les -•

Soient f[x) et '<^[x) deux fonctions qui deviennent siniultanément infinies^ lorsque la variable x tend vers une certaine valeur a. Si le rapport (2) des dérivées tend vers une limite déterminée ou devient infini^ lorsque x tend vers a^ le rapport (1) des deux fonctions tend vers la même limite ou devient aussi infini.

Pour démontrer ce théorème, nous distinguerons deux cas, suivant que a est fini ou infini :

1° a est infini. — Désignons par a un nombre ^\y.Q, assez grand pour que, x restant supérieur à a, le rapport (2) des dérivées diffère aussi peu qu'on voudra de sa limite /. On

aura (n° 37), c étant compris entre a ^\ x

f[oc)-r[a) r'[c)

d'où

cp [X) — cp [a) 0.' [c)

Mais, lorsque x croît indéfiniment, le second facteur du second membre a pour limite 1, puisque /'(co ) et ç(oo ) sont infinis. On peut donc prendre x assez grand pour que le second membre diffère de / aussi peu qu'on voudra. Donc le premier membre, c'est-à-dire le rapport (1), a aussi pour limite /.

On voit de même que, si le rapport (2), au lieu de tendre vers une limite déterminée /, devenait infini, il en serait de même du rapport (1 ).

2° a est fini. — En posant ^ = « -|- -> on a

lim ' y ' ■=: lim

et l'on tombe sur le cas précédent. On est donc autorisé à prendre le rapport des dérivées, c'est-à-dire à chercher la limite pour u = oo de

;5 cp' (a 4- -) cp' (û! -|- -

f'ix) c'est-à-dire la limite du rapport ■ , , pour x =^ a.