Pour trouver la vraie valeur de la différence
y = fM — ?(a^) de deux fonctions qui deviennent simultanément infmies
pour une valeur particulière a de la variable, on écrit celte différence y sous la forme
f ix) Si le rapport MH' ^^i ^st le premier terme de la parenthèse
et qui se présente sous la forme ^, ne tend pas vers 1
lorsque x tend vers «, l'epxression y deviendra infinie. Si le
/ ix) rapport -y-^' tend vers i, // prendra pour x ^ o la forme
00 . 0, que Ton traitera comme nous l'avons dit au n° 196. iiOO. Exemple. — Trouver la vraie valeur de la ditîérence
pour X' = 00 .
Ici le rapport
fjoc) tend vers 1, quand x croît indéfiniment. L'expression
s'offre donc sous la l'orme oo . o, pour ,2; = oo , et il s'agit de trouver sa vraie valeur, ou, ce qui revient au même, en
posant - = u, de trouver la valeur pour u = 0 de l'expression
qui se présente sous la forme -r- L'application de la régie de
L'Hospita], si l'on observe que la dérivée du radical est
donne pour la vraie valeur demandée la moyenne arithmétique
n des quantités rtj, «o, ...,«„.
Formes 0", 1'"^% oo°
;20l. Suivant qu'on a
ou
f {a) =1, cp (a) = GO,
ou
/" [a) =Go, cp (a) = G,
expression
dans laquelle f{x) est supposée positive, se présente, pour .z==«, respectivement sous la forme
0\ i'^, oc.
Pour trouver alors sa vraie valeur, on cherche la valeur de son logarithme, sauf à remonter ensuite du logarithme au nombre correspondant.
Or le logarithme de (3) est le produit
;ù (x) .]og;f{x); et dans chacun des trois cas ci-dessus ce produit se présente
SOUS la forme o . xi . On sera ainsi ramené au problème du n'' 196.
Voici quelques exemples :
1° Soit y = af , l'expression dont on demande la vraie valeur lorsque x tend vers zéro par des valeurs positives.
On a
logy =: X loga? = — ?— 5
et comme le rapport des dérivées est égal à — x^ logy tend
vers zéro, et, par suite, y tend vers 1.
j 2° Soit // = (!+ axy , qui, pour x=^ o,se présente sous la forme 1°°.
On a
logii -]- <^^)
logi/
et comme le rapport des dérivées est égal à t~j^ ' log//
tend vers «, et par suite y tend vers e"-.
3° Soit y = (l -h-) l'expression qui se présente pour X =^ ç> sous la forme oo°. On a
log2/ = ^ log ^1 + - j z= ■ ^ ,
et comme le rapport des dérivées est égal à — — — yjlogy
tend vers zéro, et par suite y tend vers 1. 20!^. Si, pour X = «, l'expression
y = u^^ où u et V sont des fonctions de x, se présente sous la
forme 1"° , tandis que Texpression
admet une limite déterminée k, la vraie valeur de y sera e''. En etïet, on peut écrire
d'où, pour X = a,
lim . y = e''""^ = e^".
Voici deux exemples:
r Soit
__ (x^ -f- 6a; Ar SV ^~' V^2 | 2a? — sj
qui, pour ,x =- oo , prend la forme l'^. Comme
/a;^ -1- 6a; 4- 5 ,\ 4a;^ -|- 8a; z = — rH — ^ ■ — :: — la; ■
a pour limite 4 pour ^ = oo , la vraie valeur de y est e^. 2° Soit
y rr: (a; -f- sin a; -j- cosa;)*^°'*°^*,
qui, pour x = o, revêt la forme 1"°.
Comme
^ = cotano^a; (a; + sina; + cosi» — 1) = cosa; -r — + 1 — tano" r- " ^ ' Lsina; ^2J
a pour limite 2 pour x = o, la vraie valeur de jy est e'^.
Emploi des séries
203. Le développement en séries constitue un procédé très souvent fort commode pour la résolution du cas d'indétermination. Voici quelques exemples :
1" Soit proposé de trouver la vraie valeur de l'expression
y=„-^[log(l+i)-i].
pour n == oD .
Cette expression se présente sous la forme ce . o. Mais on a, pour n >> 1,
et par suite
La vraie valeur de y est donc — -•
2° Trouver la vraie valeur de Lexpression
qX gsin;
X — sin^c
pour j: = o.
On peut écrire, en posant x — sin.i- = u,
ou en remplaçant e" par son développement en série
La vraie valeur de // pour x = œ est donc 1.
3° Soit encore à trouver la vraie valeur de l'expression
y =: \/x'^ — ox ~\- Q — \/j;^ — X,
pour X = 00 .
On développera les radicaux par la formule du binôme
relative à l'exposant -?
où y. est supposé plus petit que 1 en valeur absolue. Or cette quantité 2 est pour le premier radical
ox — 6 et. pour le second
Comme il faut faire tendre x vers l'oo , on peut toujours supposer x assez grand pour que chacune des deux quantités précédentes soit moindre que 1 en valeur absolue. La formule du binôme est donc applicable, et l'on a
\/x- — OX-\-^ = X \/ l
ox — 6 o 1
X 2 S.r Hic-
d'où
ce qui montre que la vraie valeur de // est — 2.
4° Cherchons enfin la vraie valeur, pour x = o, de
CALCIL liNFlNTTÉSIMVL. 14
l'expression
loff (1 4- X -[- x^) + log-. (1 — X -j- x^]
"^ sec a? — cosa?
qui se présente alors sous la forme -• On peut l'écrire
log'(l -\- x'^ -\- x^)
y = coso; .
SWiX
Comme les deux premiers facteurs tendent l'un et l'autre vers 1, lorsque tend, vers zéro, la vraie valeur de y sera la même que celle du troisième facteur, lequel devient, par le développement en série du logarithme,
et par suite a l'unité pour limite.
La règle de L'Hospital, appliquée sans modification à la forme primitive de y, eût exigé deux différentiations successives et donné lieu à un calcul beaucoup moins simple que celui que nous venons de faire.
Vraies valeurs des fonctions de plusieurs variables
2,04:. Lorsque le rapport
de deux fonctions de plusieurs variables se présente sous la forme - pour un système de valeurs a, h des variables .r, y, la vraie valeur de ce rapport est généralement indétermi-
née ; elle dépend de la loi suivant laquelle x et y tendent respectivement vers a ei h.
En effet, si l'on pose
00 = a -}- pi, y =1 b -{- qt, (6i
/> et// désignant des constantes arbitraires, le rapport n devient une fonction
r [a + pi, h + ql)
de la variable unique /, qui, pour t, = o, se présente sous
la torme -•
L'application de la règle de L'Hos[)ital donne alors
hm u = — r r-, (8)
valeu]' que la présence des arbitraires p et q rend indéterminée. Toutefois, si les dérivées partielles des fonctions /' et 0 sont proportionnelles,/; et q disparaissent, et l'on a
tim u = ^-- = — ) (9)
c'a» vo
qui est en général déterminée.
Si les dérivées partielles
^ ^ Ijt h
sont toutes nulles, le second membre de (8) se présente à
son tour sous la forme - ; une nouvelle application de la
règle de L'Hospital donne alors
lim u =
p' ^, + 2pr7 ^ c'a- ôacb
c'a-' c'ttc'A
lOi
valeur que la présence de p et ç- rend indéterminée, à moins que les dérivées partielles du sacond ordre des fonctions / et © soient proportionnelles, et ainsi de suite.
Il va sans dire qu'au lieu d'appliquer la règle de L'Hospital pour trouver la vraie valeur de (7) pour / = o, on peut (n" 203) avoir recours aux développements en séries et à des transformations que suggère l'habitude du calcul.
