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Les fonctions /'et © ayant leurs dérivées partielles proportionnelles, la formule (9) donne

lim u = -• (14)

3° Soit l'expression

(^ - ip + y' - i (is)

(a;^ ^ ïf — [y ~ i)

qui, pour ^ = y = 1, se présente sous la forme r- On a ici

d'oii, à cause de « = /> = 1,

et enfin, d'après la formule (8),

lim u ^=. = — -• (16)

4° Soit enfin l'expression

qui, pour x = y = o, se présente sous la forme -•

L'emploi de la règle de L'Hospital exigerait ici deux applications successives, vu que les dérivées partielles au. premier ordre sont toutes nulles pour x = y = o. Mais en posant x = pt, y=zpt^ on a, suppression faite du facteur commun f,

pi 4 ^2 V ;

qui met tout de suite en évidence l'indétermination.

1206. Nous terminerons par une remarque importante : Ce serait une erreur de croire que, pour trouver la

vraie valeur du rapport (5), qui se présente sous la forme -

pour X = a et y = h, on a le droit de faire successivement x = «, puis // = b^ ou bien y = b^ puis x = a. 11 faut introduire ces valeurs simultanément, sans quoi on risquerait de faire disparaître une indétermination qui existe réellement.

Un exemple suffira pour mettre ce point hors de doute.

Reprenons l'expression (11). En faisant d'abord j: = l, l'expression devient

log'?/

qui, pour ?/ =: 1, se présente sous la forme - et a, d'après la

règle de L'Hospital, pour valeur -• Si, au contraire, on fait

d'abord y = 1 , on tombe sur l'expression

loga;

qui, d'après la règle de L'Hospital, a pour valeur 1. La contradiction est flagrante; bien plus, aucune des deux valeurs

trouvées - et 1 ne convient, l'expression (11) étant réelle-

ment indéterminée pour .r = y := 1.