CHAPITRE Xin MAXIMA ET MINIMA

Cas d'une fonction explicite d'une seule variable indépendante

-i07. On dit qu'une fonction © [x] est maximum pour une valeur a de la variable x^ lorsqu'on peut trouver un nombre positif £ tel que la différence

cp(a H- h) — cp(a) (1) . j

soit négative pour toutes les valeurs de h comprises entre — £ et £.

Lorsque, dans les mêmes conditions, la différence (1) est positive^ on dit que la fonction est minimum pour x =^ a.

208. D'après ces définitions, si ç(«) est maximum, cp (a:) croît dans l'intervalle [a — s, a), puis décroît dans l'intervalle («, «+£); tandis que, si ©(«) est minimum, (^[x] décroît dans le premier intervalle et croît dans le second.

Donc (n°' 43 et 44) la dérivée o [x) passe du positif au négatifs lorsque x atteint en croissant^ puis dépasse lavaleur a qui rend © (.a:) maximum; elle passe ^ au contraire, du négatif au positif lorsque x atteint, pins dépasse la valeur a, qui rend a, {x) 77îinitnu?n.

Les réciproques sont vraies : Si la dérivée passe du positif au négatif, la fonction, croissant d'abord, puis diminuant, j passe pjar un maximum; et, si la dérivée passe du négatif

au podtif\ la fonction., décroissant d'abord, puis augmentant, passe par nu niinhnum.

209. Nous supposerons dans ce qui suit que la dérivée (p'(.z) est continue 1 dans le voisinage de a. La dérivée ne peut alors changer de signe qu'en s'annulant, et les propositions démontrées au numéro précédent conduisent à la règle suivante

Pour t^ii une fonction <d[x) soit maxiinum (ou minimum) pjour X = «, il faut et il suffit que sa clé?nvée (o' (x) s'annule pour cette valeur de x, en jjassant du signe -\- au signe — (ou du signe — au signe +), lorsque x atteint et dépasse a.

Cette règle exige l'étude des variations de signe de la dérivée dans le voisinage de chaque l'acine réelle de a de l'équation o' [x] == o. Cette discussion n'est pas toujours aisée; aussi trouve-t-on souvent avantageux de substituer au critérium précédent une autre règle exigeant seulement la connaissance du signe que prend, pour x = «, la première des dérivées ?'(«), ç>"(^)..., qui ne s'annule pas pour cette valeur de x.

210. Avant d'indiquer cette seconde règle, nous devons faire une remarque importante.

Si une fonction f[x) est continue., mais différente de zéro., pour X = «, f[x) conserve un signe constant dans le voisinage de a.

En effet, soit s un nombre positif, et x une valeur quelconque appartenant à l'intervalle {a — s, a -\- s). En vertu de la continuité, on peut prendre s assez petit pour que l'on ait

nx) ■= fia) + u, (2)

u étant aussi petit qu'on voudra en valeur absolue. En particulier, comme f{a) n'est pas nul, on peut prendre s tel que I zi I soit inférieur à | / («) | . C'est donc f{a) qui donne son signe au second membre de (2), et par suite au premier

' Les cas de discontinuité ne comportent pas de solution générale ; on doit les traiter directement dans chaque question particulière.

membre ; f[x) a donc le signe de f[a) dans l'intervalle considéré.