Cela posé, soit a une racine réelle de l'équation

(^' [x) = o, et supposons que o[x) et ses dérivées successives soient continues dans un intervalle [ci — h^ a -\- h)^ comprenant la valeur a ; enfin soit p Tordre de la première des dérivées successives qui ne s'annule pas pour x = a, de telle sorte qu'on ait :

Dans ces conditions, la formule de Taylor donne

'^ [a + A) - CD [a] = ^— 1^ ?"'^ (« + '^/^j, (3)

011 6 est compris entre 0 et 1. D'ailleurs, puisque ©''"'(a:) est continu et différent de zéro pour x =r= a, on pourra (n''210) restreindre h de façon que ?'^'(.ï) conserve dans l'intervalle considéré le signe de <D^{a). D'après cela, et en vertu de la formule (3), si p est impair, la différence z,[a -\- h) — (o^a) changera de signe avec h, et il n'y aura ni maximum ni minimum. Au contraire, si p est pair, la même différence conservera le signe de o^'{a). Donc (n° 207) il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe est — ou -\-.

De là cette règle :

Pour qu'une fonction © (x) soit maximum ou minimum pour X = a, il faut et il suffit que la première des dérivées de (!^{x)^ qui ne s'annule pas pour x^=a, soit d'ordre pair. Alors il y a maximum ou minimum, suivant que cette dérivée d'ordre pair est négative ou positive pour x = a.

Exemples

^1*2, Soit proposé de trouver les maxima et les minima de la fonction

cp(a7) z= [x — «,) {x — «2) ... [x — «„), (4)

où â;,, «o, ..., «„, désignent n quantités distinctes et rangées par ordre de grandeur croissante.

En vertu du théorème de Rolle, chacun des intervalles :

(a,, «2), («2, «3), ... («„,, an)

renferme au moins une racine réelle de l'équation <s^' [x] =o, et il n'en contient qu'une, puisque le nombre des intervalles est égal au degré de cette équation. En désignant par a,, a,, ..., a„i, les racines de o {■r) = o supposées rangées par ordre de grandeur croissante, on aura

^' [ûc) = n{x — a^) [x — Xo) ... [x — y.n-\)-

Gela posé, faisons croître x d'une manière continue de — 00 à H- oc .

Si n est impair, '^'[x), d'abord positif, change de signe chaque fois que x atteint et dépasse l'une des quantités «j, a.,, ..., a„i ; donc 9 (jc) est maximum pour r =1^ aj, minimum pour X ■= ao, maximum pour x ^ y.., ..., enfin minimum pour X = a,i i.

Si n est pair, <^' [x), d'abord négatif, change de signe chaque fois que x passe par l'une des quantités ap a.,, ..., a„i. Donc 9 (.2) est maximum pour x = a^, minimum pour ./■ = a>, maximum pour x = 3:3, ..., enfin maximum pour x =: a„„|.

'Jiïli, Trouver les maxi7na et mini nui dune fonction ai/ant pour dérivi'e

OÙ p est un nombre entier positif, et f[x) et F [x] deux polynômes entiers ne s'annulant pas pour x =. a\ quelles sont les conditions pour que 9 (a) soit un maximum ou un minimum, ou ni l'un ni l'autre?

Si p est pair, comme f{x) et F [x) ne changent pas de signe pour x = a, la dérivée 9' [x] ne change pas non plus ; il n'y a donc ni maximum ni minimum.

Si p est impair, [x — cif passe du négatif au positif pour X = «; donc ©(a;) est minimum ou maximum, suivant que

est positif ou négatif.

On voit que la règle du n° 209 est d'une application facile, lorsque la dérivée s' [x] est le quotient de deux polynômes entiers.

^14. Trouver le minimum de x\ x étant positif. La fonction étant minimum pour la même valeur de x que son logarithme, nous poserons

!i(.z;) = log^-^ = X logic, (6)

d'oîi il résulte

^' [oc] = 1-1- loga?.

Cette dérivée s'annule pour log.z- = — t, c'est-à-dire pour x = — D'ailleurs o [x) = - étant égale à e^ c'est-à-dire

positive pour x = -^ on voit par la règle n° 211 que x!" est minimum pour cette môme valeur de x.

^15. Trouver le minimum de P expression

cp [x] ^ e^ -\- e~''^ -\- 2 COS.X'. (7)

Sa dérivée

cp' (^x) = e^' — e~^ — 2sin^

s'annule pour x = o\ mais cette valeur x = o annule aussi les dérivées

cû^'(a;) -rzi e^ -{- e-^' — 2 cosa7, et

cp"' {x) = e-^ — e - "" -\- 'i sin x,

tandis qu'elle rend la dérivée quatrième

cpi^ [x) = e" + e-^ + 2 cos^

positive et égale à 4. Donc (n° 211) o[x) = 4 est un minimum de s (j:).

Il est aisé de voir d'ailleurs que .r = o est la seule racine réelle de ç'(.x) = o ; en effet, si on remplace, dans ?'(.x), e'^, e~^ et sin^ par leurs développements

on obtient l'expression

dans laquelle le facteur entre parenthèses est constamment positif; 'ij [x] ne s'annule donc que pour ^ = o; or, comme alors cette dérivée passe du négatif au positif, on retrouve, par l'application de la règle du n° 209, les conclusions que nous a données, dans l'alinéa précédent, l'application de la règle du n'' 211.

'2, 1 C>. Doux milieux étant séparés par un plan horizontal P, la lumière se meut dans le premier milieu avec une vitesse constante u, et dans le second milieu avec nne vitesse conslanli' r. On demande quelle route la lumière doit suivre pour

alle)\ dans le temps le plus courte d'un, point A d/i premier milieu à un point B du second.

Soient A' et B' les projections des points A et B sur le plan P. Le chemia demandé, qui se compose de deux portions de droite, est situé dans le plan vertical AA'B'B; en effet, soit G un point situé sur le plan P en dehors de la droite A'B', et L la projection de G sur A'B', on aura AL << AG et BL -< BG, en sorte que la lumière mettra moins de temps à suivre le chemin ALB qu'à décrire le chemin AGB.

Tout revient donc à chercher sur AA' le point H, tel que le chemin AHB soit parcouru dans le temps minimuQi.

Désignons par IX la verticale du point H, et posons AA' = «, BB' == 6, A'B' = d, AHX = i, BHl = /•.

FiG. 6.

Le temps à rendre minimum a pour expression

u cosz V cosr

i et r étant liés par la relation

cl =^ a tang^ -\~ b tangr.

Donc, en égalant à zéro la dérivée par rapport à / de l'expression (8), et désignant par / la dérivée de /■ par

MAXIM A ET MIINIMA 223

rapport à «, on aura réqiiation

. a sin i , h sin r , .,,,

u cos- 1 fcos-r

à laquelle il faut adjoindre celle qui provient de la différentiation de la relation (9)

Cl . b , , . .

cos-' « cos-r

L'élimination de r' entre (10) et (11) donne immédiatement

sinr V ^ ^

pour la condition du minimum.

Remai'que importante

*^17. Souvent la variable ^, au lieu de pouvoir prendre toutes les valeurs possibles, est astreinte à rester inférieure ou supérieure à certaines limites. Alors, a désignant Tune quelconque de ces valeurs extrêmes, cp(3:) peut être un maximum ou Lin minimum, sans que x soit une racine de l'équation dérivée o' {x) = o.

Considérons, par exemple, le cercle x~ + // = R- et un point A («, o) différent de l'origine. La distance AM d'un point quelconque M {x, y) du cercle au point A devient maximum pour x = R et minimum pour x = — R; et, cependant, aucune de ces valeurs extrêmes de x n'annule l'équation dérivée, puisque la dérivée de l'expression

ÂM' = R2 + «2 2^,,.

se réduit à — 2a.

Pour avoir un exemple plus complet, reprenons la ques-

tion précédente, en remplaçant le cercle x"- -^ if- == R' par la parabole jf — 2px = o. On a alors

AM'' = [a: — a)- ^ y- = {x — a)- + ^px,

et l'équalion dérivée se réduit à

dont la racine unique a — p doit être rejetée, si a est inférieur à/j, puisque la variable x est astreinte à rester positive. Si a est supérieur à p, la racine a — p est l'abscisse commune à deux points M[ et Mo de la parabole, symétriques par rapport à l'axe ox. Gomme la dérivée seconde est positive, AMj et AMo sont des minima de la distance AM. Mais cette distance AM possède encore évidemment un maximum ou un mininiLim ; c'est la distance AO du point A au sommet 0, laquelle est un maximum ou un minimum, suivant que le point A est intérieur ou extérieur à la parabole. Or la règle du n° 209 laisse échapper cette solution, puisque la dérivée ne s'annule pas pour x = o.

, 218. Il est aisé de trouver la raison de la singularité dont nous venons d'indiquer deux exemples.

La définition du n° 207 et les raisonnements qui ont conduit à la règle 209 supposent que, si ç>(a) est un maximum, la différence o[y.-\-h) — ç(a) est négative, quel que soit le signe de la quantité très petite h. Or l'accroissement h a un signe déterminé pour x =■ a, puisque a est une limite inférieure ou supérieure de la variable x. Les raisonnements fondés sur ce que le signe de h est arbitraire ne subsistent donc plus.

210. La singularité dont il s'agit ne saurait se présenter si, au lieu de l'abscisse x du point M, on choisit une variable u susceptible de prendre toutes les valeurs possibles, car alors la théorie exposée aux n°' 209, 210, 'Jll, est applicable. En posant x^i]j[u) et désignant par V la

fonction ç(.z') dont on cherche les maxima et les minima, on a

^ = ^'{uc).'V hi), (13)

clY et la présence du facteur <li' (u) montre que -j- peut s'annuler

sans que (^' (x) s'annule.

Dans le premier exemple du n° 217, si l'on pose

X ^= R CCS M,

on a

oi' [jc) = — 2a, y (m) = — R sin it,

et par suite

-7- = zan smu.

En égalant cette dérivée à zéro, on obtient les valeui'S if =z 0, il = cj, qui répondent respectivement au minimum et au maximum de AM.

Dans le second exemple (cas de la parabole), si l'on pose

a.- =: '^pu-,

on a

cp' [X, — 2 (.r — « -f p), y [uj = Apte,

et par suite

Eu égalant cette dérivée à zéro, on obtient les valeurs

relatives aux maxima et aux minima de la distance AM.

Les considérations et les exemples qui précèdent suffisent pour montrer la nécessité de tenir compte, dans les questions de maximum et de minimum, du choix do la variable indépendante.

CXhr.VL INFINITÉSIMAL. 15

Cas d'une fonction explicite de m variables liées par m — 1 équations

220. On peut, sans altérer la généralité de la méthode, prendre m = 3. Le problème est donc le suivant : trouver les maxima et les minima de la fonction

V^/^Ky, ^i, (14)

les variables .x, y, s, étant astreintes à vérifier les conditions

Tk (•37, y, ^) = o, (15)

Les deux équations de condition (15) et (16) définissent y et s en fonction de x, de sorte que V est une fonction composée de la seule variable indépendante x^ dont il faut égaler la dérivée à zéro.

On obtient ainsi la relation

^x ^y dœ ^z dx ^ '

à laquelle il faut joindre les deux suivantes

'^x ^y dx 'bx dx ^

.V. f. 'ii ^ + Ih *i = 0, (19) ex cy dx oz dx

qui résultent de la différentiation des équations de conditions. L'élimination -f- et de V" entre les trois équations dx dx

17), (18) et (19), donnera la relation

qni, conjointement avec (15) et (16), fera connaître les valeurs de x^ y, z, propres à rendre V maximum ou minimum.

"2,2,1. La résolution des équations (15), (16), (20), est souvent facilitée par l'adjonction de deux nouvelles inconnues X^ et Aq? et par suite de deux nouvelles équations. Voici comment :

Soit (.2?, y, z) une solution des systèmes (15), (16), (20), Le déterminant (20) ne cliange pas lorsqu'on ajoute aux éléments de la première ligne ceux de la seconde ligne multipliés par Aj et ceux de la troisième par Ao. Dès lors, si on détermine a^ et a.^, par les équations que l'on obtient en égalant à zéro deux des éléments de la première ligne du déterminant A ainsi transformé, la condition A = o entraînera l'annulation du troisième élément de cette ligne, et l'on aura trois équations

0// ' 01/ - oy

cY '^r, ^v,

ÔZ ^ dZ OZ

qui, conjointement avec (15) et (16), détermineront les cinq inconnues a?, ?/, z, Xj et "At.

Les relations (21), (22), (23), sont faciles à retenir : il suflit de remarquer que leurs premiers membres sont les dérivées partielles par rapport à r, y, z, de l'expression

t {x. .y, ^) + >mA '-^^ y. -) + \l\ (•^' y- ^)' (2^)

dans laquelle a, et a., ^ont regardées comme des constantes. Pour établir la distinction entre les maxima et les minima, il faudrait avoir recours au signe de la dérivée seconde. Le calcul de cette dérivée n'offre pas de difficulté théorique, mais il est parfois pénible ; on s'en dispense le plus communément, car la nature de la question permet, en général, de reconnaître a prio)n s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

2,22. Nous allons appliquer la théorie précédente à la recherche des axes de la section de l'ellipsoïde

par lin plan

a^ -h Pi/ -f- Y^ = 0, (26) ■

passant par rorigine, c'est-à-dire par le centre.

Les longueurs des axes en question sont le maximum et le minimum de la distance qui sépare le centre d'un point quelconque de la surface. Il s'agit donc de trouver le maximum et le minimum de la fonction

les variables x, ?/, 2, devant satisfaire aux deux équations de conditions (25) et (26).

A cet effet formons, conformément aux prescriptions du n° 221, l'expression

et égalons ses dérivées partielles à zéro. Nous aurons les équations

oc^\~-\-\^ = o, (29)

qui, conjointement avec (25) et (26), déterminent les multiplicateurs Ai, Ao, ainsi que les coordonnées a:, y, :;, d'un sommet quelconque de la section.

Pour olDtenir les longueurs des axes, il faudra éliminer X, y, 2, Aj, Ao, entre les équations (25), (26), (27) et (29), (30), (31). On y parvient aisément comme il suit :

D'abord, en ajoutant les trois dernières équations respectivement multipliées par x, y, z, et ayant égard aux trois premières, on a Aj = — t'. Puis, en portant cette valeur de Xj dans (29), (30), (31), résolvant par rapport à x, y, z, et enfin substituant les valeurs ainsi trouvées dans la relation (26), on obtient l'équation en v

qui donne les carrés des longueurs des deux axes de la section.

Maxtiiia et iniiiiina des fonctions de plusieurs variables indépendantes

'Ji2i'S. On dit qu'une fonction s (a?, y, ...) de n variables est maximum pour les valeurs «, h, ... attribuées respectivement à x, y, ..., si l'on peut trouver un nombre positif s assez petit pour que la différence <s [x^ y, ...) — tp (a, 6, ...) soit négative pour toutes les valeurs de, x — «, y — h^ ... comprises entre — s et H- s.

Il y a minimum lorsque la diiférence ci-dessus est positive dans les mômes conditions.

Nous supposerons, dans la suite de ce chapitre, que la fonction cp (.r, //, ...) et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre dont on aura besoin soient continues. Les cas de discontinuité ne comportent pas de solution générale ; ils devront être étudiés à part dans chaque question.

Posons

x = a^a.t, ij = h-\-[U, ..., (33)

d'où

<,{x,y, ...)=o[a-{-oLt, h + ^t, ...)== F (0, ^ (34)

et par suite

F'(0 = ae>;(a^, y, ...) + P9'(.i-, y, ...) + ..., (35) F''(0 -a2cp^,.(a.,y, . . 0+P'?;/y(^.y . • • 0 4- • • • + 2aP9^y (^^^^^

Gela posé, si s (a?, y, ...) est maximum ou minimum pour X ^ a^ y = b, ..., F(^) sera maximum ou minimum pour ^ ^ o. Donc, d'après la théorie des maxima et minima relative aux fonctions d'une seule variable, on doit avoir F' (o) = 0, c'est-à-dire

. acpi (a, h, ...) 4- ^'^l[a, b, ...) = o,

relation qui, devant avoir lieu quelles que soient a, (3, ..., se décompose en les suivantes

cp^(«, &,...) = o, cp; («, i, ...) = 0 ... (37)

On voit de la sorte que les systè7nes de valeurs projires à rendre ç (a:, y, ..,) maximum ou minimum ne doivent être cherchés que parmi ceux qui annulent les dérivées partielles du premier ordre de (six^y, ...).

(«, ô, ...), étant un tel système, il y aura maximum ou minimum, suivant que la dérivée seconde F' (o) sera négative ou positive pour toutes les valeurs de a, (3, ..., ditl'érentes de zéro. Or, d'après la formule (4), F"(o) a pour expression

oc^çi^ (a, h, ...) -f- li^cp;^ (a, ^ ...) -I- ... + 2ap^^,, [a, h, ...) + ...

C'est une fonction entière et homogène du second degré des variables a, (S, ... que nous désignerons par V. On est donc ramené à ce problème d'algèbre : trouver les conditions pour

que la fonction V conserve un signe constant, le signe + par exemple.

Ordonnée par rapport à a, la fonction V prend la forme

V = Aa^ + 2Pa -}- Q ;

elle se réduit à Aa-, lorsque les autres variables ;3, ..., sont nulles ; on doit donc avoir en premier lieu

D'autre part, si l'on pose

V^ = AQ - P2, on obtient la relation

AV = (Aa + P)2-f V,.

L'expression entre parenthèses s'annule pour

quelles que soient ;3, ... ; il faut donc que Vj soit constamment positive.

Ainsi les conditions pour que V soit constamment positive sont que l'on ait A^ o et que V, soit constamment positive.

Or V| est, comme V, une fonction entière homogène et du second degré, mais ne renfermant que n — 1 variables. En appliquant à V^ le raisonnement sur V, on voit que les conditions pour que Vj reste positive consistent en ce qu'une certaine quantité déterminée Aj soit positive et qu'une certaine fonction V^ entière homogène du second degré à 71 — 2 variables reste positive.

En continuant de la sorte, on trouvera les n conditions nécessaires et suffisantes

A >o, A, > G, ..., A„^ > G, pour que V reste toujours positive.

£224. Si l'on considère en particulier le cas de deux variables x et y, on a

V = cp,L (a, l>] a^ + 2ç^^ (a, h) aS + ^"yy (a, ^;) ^^ ^ V^=- [ç^^,(a, h) ^ly{a, h) - (oiV(«, b)Y] §2. Les conditions pour que V reste positive sont, d'après cela, Çp^x(«, b)> o et >xx(«, ^) ?.v.v i«> ''^y — (?^j/(«5 ^)f] > 0, lesquelles entraînent d'ailleurs évidemment

cp,;^ (a, è) > o.

Pour passer du maximum au minimum, on changerait le sens des inégalités,

225. Nous avons supposé que les dérivées partielles du second ordre de la fonction çp (x, y, ...) n'étaient pas toutes nulles simultanément pour x = a^ y = b, ...\ sinon il faudrait que les dérivées troisièmes fussent nulles et qu'une certaine fonction entière homogène du quatrième degré conservât un signe constant.

On continuerait de la sorte ; mais les calculs qu'exige cette discussion deviendraient bien vite inextricables.