Au lieu de dire que les dérivées partielles
t)cp <)a) t)cD
'èx i)y ^z
s'annulent toutes pour les valeurs a, b, c, ..., qui rendent une fonction o(x, y, z, ...) maximum ou minimum, il équivaut évidemment de dire que la différentielle totale
^ f/^' -f- :r-'- dy + ;-'- c/z -4- ... s'annule, quels que soient dx, dy, dz, ...
227. D'après la théorie qui précède, les valeurs des variables relatives au maximum ou au minimum d'une fonction doivent annuler les dérivées partielles de cette fonction, à moins que ces dérivées soient discontinues. Mais il peut se faire, comme l'a remarqué M. Bertrand, que les dérivées partielles d'une fonction cessent d'être déterminées pour certaines valeurs des variables, et que ces • valeurs rendent en même temps la fonction maximum ou minimum.
Voici l'exemple même que M. Bertrand a choisi pour justifier son assertion :
Trouver dans le plan d'un triangle ABC un point M dont la somme des distances aux trois sommets soit un minimum.
Soient {x, y), [x^, y,), (.a^o, yo), {x-^, ^g), les coordonnées des points M, A, B, G, par rapport à des ax^s rectangulaires quelconques; l'expression à rendre minimum est
et il faut égaler à zéro sa dérivée par rapport à x^ et sa dérivée par rapport à y, ce qui donne
^[x-x^y'^{y-y^Y ' \l{x—x.^f-^[y—yl) s^[x-x^Y-Y[y-yl) [
y—y^ , .y -.Va I .y— .Va V '
\l{x—x^Y-\-{y—y;f ' ^{oc—x.^Y-+{y—y.^Y ^{^—'V^^'^+iy
En désignant par aj, y..,, x^ les inclinaisons de MA, MB, MC, sur l'axe de x, on remplace les équations (39) par les suivantes
cosa, -{- cosag + ces a3 = 0, siiia, -|- sin a.^ -j- sin a3 = o, (40)
d'où l'on déduit, en isolant cosa.. et sinagct ajoutant la somme des carrés
COS(a, — a^) = — gi (41)
on trouverait pareillement
ces (^2 — QC3) = — ^' COS (7.3 — a^) = — 2
Les angles AMB, BMC, GMA, sont donc tous les trois égaux à 120°, et le point cherché est celui d'où l'on voit, sous un angle de 120", chacun des côtés du triangle ABC.
Il importe de remarquer que le point d'où l'on voit chacun des côtés du triangle ABC, sous un angle de 120°, cesse d'exister lorsque l'un des angles de ce triangle surpasse 120°. Alors les équations (39) sont incompatibles, quoiqu'il résulte de la nature de la question que le minimum existe encore. Pour trouver la solution qui convient à ce cas, remarquons
que les dérivées partielles (39) se présentent sous la forme -'
si l'on prend pour le point cherché l'un des sommets A, B, C, c'est-à-dire, si on remplace, dans ces dérivées, les coordonnées courantes par celles de l'un des points A, B, C. C'est donc l'un de ces sommets qui résout la question; et, comme la somme des distances se réduit alors à la somme de deux côtés du triangle, le point cherché sera le sommet de l'angle obtus.
Généralisation du n° 220
228. Soit ç (x, ?/, z^ ...) une fonction de m + )i variables liées par ?i équations.
/•^{os,y,z,...) = o, f.,{oc,îj,z,...)=o, ..., f„{oo,îj,z,...), (42)
de sorte qu'il reste ?n variables indépendantes.
Pour rendre la fonction cp maximum ou minimum, on devra poser f/a = o, c'est-à-dire
:^ dx -\- -^ dy 4- '':^ dz 4- ... = 0, (43)
puis joindre à cette équation les n suivantes '!f- dx 4-^.f^ chj 4-^ dz -^ ... = o
^-f^ dx i~^4^ dy i-P dz + ^X ' ^1/ ^ ' ^z '
-r-^ dx -\- -r^ dll -\- --^ dz -\~ ... =0 ^X ' t)y -^ ' ^C^ '
qui résultent de la différentiation du système (42) .
Après avoir éliminé n différentielles, d.x^ dy ^ dz^ ..., entre les [n -\- \) relations (43) et (44), on égalera à zéro les coefficients des m différentielles restées arbitraires, et l'on obtiendra de la sorte m équations, qui, jointes aux n équations (42), détermineront les systèmes de valeurs de x, y, s, ,,., propres à rendre la fonction cp maximum ou minimum.
Pour exécuter avec élégance l'élimination dont nous venons de parler, nous ajouterons à l'équation (43) les équations (44), respectivement multipliées par les facteurs indéterminés A^, Ao, Aj, ..., A„, que l'on choisira de manière à faire disparaître n différentielles; mais, comme on devra ensuite, d'après ce qui a été dit dans l'alinéa précédent, égaler à zéro les coefficients des m différentielles restantes, on voit qu'en définitive les coefficients de toutes les différentielles devront être égalés à zéro. Les équations ainsi formées
^-4-) ^-^^ :>x + ^^' dx + •
uZ
sont au nombre de m + //. En leur adjoignant les n rela-
tions (42), on aura m -\- 2?i équations pour déterminer les m -\- 2n quantités, X^, ..., a„, et x, ?/, z, ...
De là résulte la règle suivante : Pour obtenir les maxima et les minima dune fonction s de m -\- n variables^ liées entre elles par n relations f^ ^ Oj, ..., /,j = o, on annulera les dérivées partielles^ par rapport aux m -\- n variables^ de la fonction
oiï l'on regardera Aj, Ao, ..., a„, comme des constantes. On obtiendra de la sorte m -f- n l'quations, qui, jointes aux n éqiiations de liaison /', i^ 0, /<, = o, ..., f\^ = o, donneront les quantités A[, ..., a„, ainsi que les rcdeurs des m -\- n variables, x. y, z, ..., correspondent aux maxima ou minima de cp.
^I!29. Supposons, pour prendre un exemple, qu'il s'agisse de trouver le minimum de la fonction
les trois variables x, y, z, étant liées par la relation
ax -f- hy -\- cz ^=. h, (46)
011 «, ô, c, k sont des constantes données.
D'après la règle du numéro précédent, on est conduit à égaler à zéro les dilTérentielles partielles par rapport àx, y, z, de l'expression
^' + y' + -2^ + 2X [ax 4- hy -f c^ — /%j.
On obtient de la sorte les trois équations
