X -\- a\-=^ Q, y -{- bl = o, z -\- c'a = o
qui, conjointement avec (46), détermineront ./■, y, z, après qu'on aura éliminé a.
MAXIMA ET xVlIMMA 237
Oïl déduit des équations (47) les égalités
z y z av -\- hij -\- cz k ,
C ~ «2^/;2|^.2 ^2 | è-'-fc
d'oià résultent, pour les valeurs de x, ij, z relatives au minimum de ©,
ah hk ek ,.„,
et, par suite, pour la valeur minimum de 9,
ai]ii 4- ^>2/.2 ^ c2/,2 Ifl
D'ailleurs l'interprétation géométrique montre immédiatement qu'il s'agit ici d'un minimum; s représente en etYet le carré de la distance de l'origine à un point (.y, y, z) du plan ax -[- hy -^ cz =^ k.
iVIaxinia et iniiiiiiia des fonctions implicites
230. Soit y une fonction liée à une variable ./• par une équation
non résolue par rapporl à y. Pour trouver les maxima et les minima de ?/, on dilTérentiera l'équation (49), ce qui donne la relation
V + sf" ■'/ = "^ (^0)
t'x vy
laquelle se réduit à
ï, = 0' (SI)
pour les valeurs de x qui rendent?/ maximum ou minimum.
On cherchera donc les divers couples (X|, y^), (jr^, y^, (a?3, ^g), ... de solutions communes aux équations (49) et (51), et c'est parmi les termes de la suite x^^ x^, x^, ... que se trouveront les valeurs de x relatives aux maxima et aux minima de y.
Pour reconnaître si une solution des équations (49) et (51) répond véritablement à un maximum ou à un minimum, il faut considérer la dérivée seconde. En difîérentiant l'équation (50), on obtient la relation
laquelle, par l'introduction de la condition ?/'= o, se réduit à d'où
11 y aura maximum ou minimum suivant que la solution considérée rendra le second membre de (53) négatif ou positif.
Si -T^ est nul, il faut recourir aux dérivées d ordre supérieur.
Considérons, comme exemple, la fonction implicite y définie par l'équation
f(x, y) ^ x'' -\- y'' — \xy = o. (54)
On a ici
Le système formé par réqiiaiion (54) et par l'équation x^ — z/ = o ont pour solutions communes x == =b ^3, y =^ ± \/27 ; d'ailleurs la dérivée seconde, c'est-à-dire le second membre de la relation (53), est négative pour a: = + \/3 et positive pour x =^ — yS ; il y a donc maximum dans le premier cas et minimum dans le second.
231 . Supposons maintenant que Ton ait m -\- 1 variables liées par m relations, par exemple quatre variables x^ y, z^u^ liées par trois équations
Tk (^1 y^ z,u) = o 1
X étant choisie pour variable indépendante, y, z et u seront des fonctions de x. Considérons l'une quelconque de ces fonctions, a par exemple. Pour trouver les valeurs de x qui répondent aux maxima ou aux minima de ii^ on ditférentie les relations (56), en traitant y^ z^ z< comme des fonctions de x et tenant compte de la condition
du
dx
ce qui donne
^x ^y dx ^z dx i
'^x ^y dx ^z dx l' \
^s 4 ^3 £^ , ¥? ^ = (3 ^x ' ^y dx 'dz dx j
On élimine -7^5 —^ et l'on obtient une équation qui, de
concert avec les relations (56), détermine x, y, z, u.
En différentiant de nouveau les relations (56), on
obtiendra -T-T, ; on y substituera les valeurs trouvées pour .r,
y, z, u, et, suivant que le résultat obtenu sera positif ou négatif, ii sera un maximum ou un minimum.
Observons d'ailleurs que l'élimination de -j^ et de -r- pourra
se faire par la méthode des multiplicateurs . A cet effel, on ajoutera les équations (57) multipliées respectivement par 1, a et [j., et on choisira les multiplicateurs a et ;j,, de telle sorte que
dans le résultat les coefficients de -y- et de -r soient nuls.
(Ix dx
1232. Considérons enlin le cas cVune fonction implicite de plusieu?'s variables indépendantes. Soient, par exemple, trois relations
fï{oc,y, z,u,v) =0 |, (58)
entre deux variables indépendantes, ./-, ?/, et trois fonctions, z, «, V de ces variables; il s'agit de trouver les raaxiraa ou minima de l'une de ces fonctions, de v par exemple. On doit avoir
ùx oy
et par suite la différentielle totale de r, c'est-à-dire
doit être nulle.
En différentiant les équations (58) et ayant égard à la condition dv = o, on aura les relations
^idx^^^ dy 4- ^ dz J^^du = o 1
dx ày ' dz du I
^j:2dx + ^dy-{-^-{^dz-{-^^du = o , (59)
^^dx-^^^dr/ + ^^dz+^-f'-du = o dx dy dz du ■ j
MAXIMA ET MIiNIMA 241
dans lesquelles dx^ dy sont constantes, tandis que dz et du sont les différentielles totales de u et de i', considérées comme des fonctions à'x et d'y.
L'élimination de dz et de du entre les équations (59) donnera une relation de la forme
Y*dx -j- Ç)dy := o,
qui, puisque dx et dy sont indépendantes entre elles, se décompose dans les deux suivantes
Les équations (58) et (60) donneront les valeurs demandées de x^ ?/, 2, u^ V.
Pour la distinction entre le maximum et le minimum, il faudra avoir recours au signe de la différentielle totale du second ordre d~v.
Méthode de Fermât
233. Nous ne saurions clore ce chapitre sans faire connaître brièvement la première méthode générale, pour la recherche des maxima et des minima. Cette méthode, due à Fermât, est fondée sur l'observation suivante :
Quand une fonction continue 'jj[x) passe par un maximum ou un minimum, elle prend, un peu avant et un peu après cet état critique, les mômes valeurs avec ou sans symétrie. La considération de la courbe représentée par réquationy = (p [x] rend intuitif ce principe, d'où découle la règle suivante :
Pour chercher dans quelles circonstances une grandeur variable devient maximum ou minimum^ on exprimera que cette grandeur^ considérée dans deux états infiniment voisins, a la, même valeur. L'égalité qui en résulte, prise à la limite on les deux états se confondent, fera connaître une propriété caractéristique du maximum ou du minimum.
Cotte règle a son importance propre, à côté de la théorie
analytique (n°-'209 et 211), qu'elle remplace parfois avec avantage, surtout dans les questions géométriques. Voici quelques exemples :
1° Etant données deux droites Ox et Oy, et deux points A et B sur 0^, trouver le point M de 0?/, tel que F angle AMB soit maximum.
Soit M' un point de Oy infiniment voisin du point cherché M. L'égalité des angles AMB, AM'B, exige que le quadrilatère ABM'M soit inscriptible. A la limite, quand M' se confond avec M, la droite Oy devient tangente au cercle ABM ; la recherche du point M revient donc à trouver le point de contact d'un cercle passant par deux points donnés A et B, et tangent à une droite donnée 0?/; en d'autres termes, la distance OM est moyenne proportionnelle entre OA et OB.
On reconnaît en effet, a posteriori, que tout point de Oy, autre que le point de contact M, étant hors du cercle, est le sommet d'un angle moindre que AMB.
2° Par un point A, pris dans le plan d^un angle yox, mener une sécante ABC, telle que le produit AB . AG soit minimum.
Soit ABC une sécante infiniment voisine de la sécante cherchée ; le quadrilatère BB'CC est inscriptible, puisqu'on a AB . iVC = AB' . AC. A la limite, le cercle qui passe par les quatre sommets devient tangent en B et C aux côtés de l'angle yox; la corde de contact BG doit donc être perpendiculaire sur la bissectrice de l'angle i/ox.
Notions pi'éliiiiinaires
-i34. Ce chapitre a pour objet l'étude des séries dont les termes sont des fonctions d'une même variable.
Mais, pour ne pas entraver l'exposition de cette théorie, nous allons d'abord dire quelques mots sur la notion d'mtégrale dr finie.
Reportons-nous au n" 3 et considérons le trapèze aÂM[7., qui est compris entre un arc AB de la courbe // = f [x), l'axe des .2: et les ordoimées ocA, |j.M,, correspondant aux abscisses Xq et X; nous avons démontré que l'aire de ce trapèze est la limite de la somme
(^^ — •'•0) Vo + ('^-"2 — ^"1) ^i + ••• (^- ^'[>.-\)l/[i.-i^ (l) lorsque, x,^ el X restant fixes, chacun des intervalles
t<Mul vers zéro.
On rcpiésenlc celle limile de sonnne par la notalion
f'fixjdx, (2,
que Ton nomme soinine île r^ à X, ou iidrtjralc définie de la (lillércn liell(> f (x)dx.
Si, .2q restant constant, X est variable, l'intégrale (2j devient une fonction de X, qui (n" 4) a pour dérivée /(X), c'est-àdire est une fonction primitive de /'(X).
Or, si ç (X) désigne une fonction primitive quelconque de (X), 9 (X) — 9 (j-q) sera celle des fonctions primitives de (X), qui s'annule pour X =^ x^, et comme l'expression (2) représente cette même primitive, on a la formule
qui est fondamentale.
Observons enfin que la lettre x, qui figure au premier membre de la formule précédente, peut être remplacée par toute autre lettre.
Convergence uniforme 1235. Considérons une série
dont les termes sont des fonctions déterminées d'une variable X, et supposons que cette série soit convergente, lorsque x prend une valeur quelconque comprise dans un intervalle [a, b), fini ou infini. Il résulte de la définition même de la convergence que l'on peut trouver un nombre positif N tel que, pour n ^ N, on ait
£ étant une quantité arbitraire donnée à l'avance, et R„ (x) désignant le reste
correspondant au rang n.
Le nombre N dépend en général de s et de la valeur x
- choisie dans l'intervalle («, h). Lorsque N ne dépend que
de £, c'est-à-dire est le même pour toutes les valeurs de x
comprises dans l'intervalle («, 6), on dit que la série est
uniformément convergente dans cet intervalle.
Les séries uniformément convergentes sont particulièrement intéressantes. Voici pourquoi :
Si la série (4) est uniformément convergente dans un intervalle (rt, 6), la somme
Sn = ?^, (.i-) -\~ u.-^[x) -\- . . . -\- t«N [oc]
représente la fonction f[x) définie par la série avec une approximation dont la limite supérieure s est la même pour toutes les valeurs de x appartenant à Tintervalle («, h) ; on peut donc, par l'étude de la somme S^, reconnaître aisément, du moins avec une certaine approximation, la marche de f\x).
Les choses vont moins simplement lorsque la série (4) est convergente dans l'intervalle («, h) sans l'être uniformément. Pour avoir alors /(a:) avec une même approximation, il faut, suivant les cas, c'est-à-dire suivant la valeur de x^ employer un nombre de termes tantôt assez petit, tantôt fort considérable.
236. Il est en général difficile de reconnaître si une série donnée est ou non uniformément convergente; car, ce n'est que dans des cas exceptionnels que l'on' peut trouver soit l'expression de R,; [x], soit une limite supérieure de la valeur absolue de ce reste.
Toutefois la remarque suivante permet souvent de décider la question.
Une série à termes variables est uniformément convergente clans un intervalle donnée si ses termes sont moindres en vcdeur absolue que les termes correspondants et une série à termes positifs convergente et numérique, c'est-à-dire dont les termes ne renferment pas la variable x. En effet, en désignant par
24t) CHAPITRE XIV
R„ el p„ les restes correspondants des deux séries, on a
Mais, puisque la série de comparaison est numérique el convergente, on peut, e étant donné, déterminer un nombre N indépendant de x, de façon que l'on ait p„ << e et a fortiori,
—37. Voici des applications de cette règle : 1° Soit la série
y.^ B\n^^^x, 7.^ siii p.,./', ..., (5)
où [iii, (ioi ..., désignent des quantités quelconques, tandis que «j, aç), ..., sont des quantités positives formant une série convergente. La série (5) est uniformément convergente dans un intervalle quelconque, car ses termes sont respectivement inférieurs (ou égaux) en valeur absolue aux termes correspondants de la série a^, a.,, ...
2° Considérons la série exponentielle
Elle est uniformément convergente dans tout intervalle fini ; car, si l'on désigne par X la plus grande des valeurs absolues que peut prendre la variable x, les termes de la série (2) sont respectivement moindres que ceux de la série convergente
Mais la série (6) n'est pas uniformément convergente dans l'intervalle ( — 00 , -|- co ). En effet, si x est > 0, on
a R,, >- - — -\ et quelque valeur que l'on fixe pour n,
la quantité - — prend, lorsque j: croît, des valeurs aussi
grandes qu'on veut et par suite peut surpasser toute valeu r donnée z.
Propriétés des séries uniforinéineiit convergentes
238. Si les termes d'une série ^^^, w.,, •.., so)il des fonctions continues dune variable x dans un intervalle [a^ b), et si la série est uniformément convergente dans le même intervalle^ la somme de la série est une fonction f{x) continue dans r intervalle («, b).
En effet, écrivons
/•(a;) = M^ + «2 -f- ... + Mn + R«-
Par hypothèse, on peut choisir n assez grand pour qu'on ait
X étant quelconque dans l'intervalle («, b) et s étant une quantité assignée à l'avance et aussi petite qu'on voudra.
On aura dès lors, quelles que soient les valeurs de x et de x' dans l'intervalle considéré,
Mais la fonction u^ -\- u.,--\- . . . -\- u„, somme d'un nombre limité de termes continus, est continue ; donc on peut prendre x' assez rapproché de x pour que la différence des parenthèses qui figurent au second membre de (7) soit moindre en valeur absolue que s; on a donc, pour x' assez voisin de j;,
r{x) - ri-v) < 3s,
ce qui prouve la continuité de f[x).
239. a et (3 étant deux nombres compris dans l'intervalle («, ô), on a évidemment
I f(x) dx ^ l u^dx -\- 1 u^dx -f- ••• -f- / Ui^dx -\- I R,i{x) dx.
Mais, n étant déterminé comme dans l'alinéa précédent, et £j désignant un nombre aussi petit qu'on veut, on a
'x) do:
Donc la série
I u^dx -\- \ u^dx -\- ...
est convergente et a pour somme / f{x) dx.
Ainsi 0)1 aura rintégrale de la série en intégrant chaque terme entre les deux mêmes limites et faisant la somme des intégrales obtenues de la sorte.
240. La règle relative à la dérivation de f [x) est moins simple. En supposant que les fonctions zq, z^^, ..., Un-, •••, aient des dérivées continues, la série de ces dérivées
aUj^ au^ . . au,, .q,
n'étant pas nécessairement convergente, ne saurait toujours représenter là dérivée de f{x). Mais, si la série (8) des dérivées est uniformément convergente dans un intervalle («, 6), on peut affirmer que celte série (8) représente, dans cet intervalle, la dérivée de la fonction f{x).
En effet, posons, en supposant la série (4) uniformément convergente,
, , du, , du.^ , , du,, ,
on aura, en intégrant (n° 239) entre les limites a et x^ et désignant par X,j la valeur que prend Un[x) pour a: = a
/X cp(^) dx — [u^ —■ >.,)'+ (-^2 — À^) -f- ... + ^?f„ — X„) -)- ...
Mais, puisque les séries zq, z^oi •■i ^<„7 ••■ <it Xj, Ac,, ..., a„, ... sont absolument convergentes, on peut remplacer le deuxième membre par
(W^ + W2 + ... + Un + •••) — (À, + ?-2 + ••• -f- Xr + .-.)
d'où ç (a;) ^f'[x)^ puisque les a sont des constantes.
Séries entières. — Théorèmes d'Abel
241. Les séries de fonctions les plus importantes son les séries entières^ c'est-à-dire les séries de la forme
où 3c désigne une variable quelconque et Uq^ k^, h^, ..-iifn, •••■, des coeflicients constants. Nous désignerons par «q, «j, «.,> ,.., «„, ..., les modules, c'est-à-dire les valeurs absolues de ces coefficients.
Abel a donné, relativement aux séries entières, deux propositions qui jouent, en analyse, un rôle très important.
Voici le premier théorème d'Abel :
Si pour une valeur de la variable x^ dont le module est /, les modules des termes d'une série entière (9) sont inférieurs à un nombre positif et fini M, la série sera convergente pour toute valeur de x dont le module est moindre que r .
En effet, attribuons à x une valeur dont le module r soit moindre que r', et multiplions respectivement par les nombres
les termes de la série convergente (progression indéfiniment décroissante)
Gomme, par hypothèse, les nombres (10) sont tous inférieurs à M, nous obtiendrons de la sorte (n" 140) une nouvelle série convergente
or, cette série n'est autre que la série (9), dans laquelle on remplace chaquî terme par sa valeur absolue. Donc la série (8) est absolument convergente pour toute valeur de x dont le module r est inférieur à r.
242. L'hypothèse qui figure dans la proposition précédente consiste en ce que les nombres (10) sont tous inférieurs à un nombre M fini et positif, c'est-à-dire en ce que l'on a pour cette valeur de n
or cette hypothèse est toujours réalisée, si la série (9) est convergente, puisque a,/" est la valeur absolue du terme général et que dans toute série convergente le terme général tend vers zéro.
Nous pouvons donc donner, du théorème précédent, le nouvel énoncé :
Si une série entière (9) est convergente "pour une valeur de X ayant jjour module p, elle est convergente pour toute valeur de x ayant un module inférieur dp.
243. Il résulte de là que si une série entière (9) est dive?-gente pour une valeur Xy de la variable x^ elle est divergente pour toute valeur x.j ayant tin module supérieur à celui de x,^..
En effet, si la série était convergente pour x = x.,, elle-
SÉRIES DE FOiNCTIONS. SÉRIES ENTIÈRES 251
serait (n" 242) convergente pour la valeur x = x^, dont le module est inférieur à x.^.
-i44. Imaginons qu'on fasse varier x de telle sorte que son module p aille en croissant et que les modules correspondants des divers termes de la série restent finis. Les valeurs de p ont en général une limite L, et alors (n° 241) la série (9) est convergente pour toute valeur de x ayant un module inférieur à L. On donne à ce nombre positif L le nom de rayon de convergence.
Ce rayon peut d'ailleurs être nul ou infini ; dans le premier cas, la série n'est jamais convergente; dans le second cas. la série n'est jamais divergente.
La série
offre un exemple du cas oii le rayon de convergence L n'est ni nul ni infini ; car le terme général tend vers zéro ou vers l'infini, suivant que la valeur absolue de x est inférieure ou supérieure à 1. Le rayon de convergence L est ici égal à l'unité. La série est d'ailleurs convergente pour jr = — 1 et divergente pour x =^ \.
La série
a son rayon de convergence infini ; elle converge pour toutes les valeurs de x.
Enfin la série
a son rayon de convergence nul; elle diverge pour toute valeur de x (autre que zéro).
— 45. Abel a donné, sur les séries entières, un second, théorème plus complet que le premier :
Si une série entière (9) est convergente pour une valeur X de la variable x^ elle est uniformément convergente pour toutes les valeurs de x satisfaisant aux inégalités.
La démonstration est fondée sur le lemme suivant : Soient n quantités quelconques, w^, «o? •••i '^^n-, et n multiplicateurs positifs £], £05 •••7 -n» tels que chacun d'eux soit au plus égal au précédent.
Si Ton désigne par s l'expression
et par .9 et S la plus petite et la plus grande des sommes
on aura
En effet, on peut écrire
et par suite
S = e,S, -f £2(52 — 5,) + ... -|- Zn[Sn — ««-))' OU
s = (s, — £2) s, + (£2 — £3) .îo + ■•• + ^n^n-
Or, par hypothèse, les coefficients de 5|, 59, ..., s^, sont positifs ou nuls. Si donc, à la place de 5^, 5o, ,.., 5„, on met successivement s ou S, on aura d'abord une limite inférieure £|5, puis une limite supérieure e^S de S, ce qui démontre les inégalités (14).
Ce lemme établi, arrivons au théorème d'Abel.
La série
a, + a,X -^. «3X2 -f ... -f fl,X« -h ... (15)
étant supposée convergente d'après l'énoncé, on pourra prendre n assez grand pour que chacune des sommes
«„X« + a,, + ,X" + ' + a„^oX"^^
soit inférieure en valeur absolue à e.
Le nombre n étant ainsi détei'miné, attribuons, dans la série (9), à la variable une valeur x comprise entre zéro et X et pouvant d'ailleurs être égale à l'une ou l'autre de ces limites; la somme S des termes qui, dans la série (9), suivent le yr% peut s'écrire
les quantités
(XY fXx"' + ^ /X\"+P
( xj ' [x) '-Ix.
étant toutes positives et telles que chacune d'elles est inférieure ou égale à la précédente.
Dès lors, en vertu du lemme, la somme S est en valeur
absolue, inférieure à e ( ^ 1 i et a fortiori à e. Donc, il existe
un nombre n, valable pour toute valeur de x comprise entre o et X inclusivement, et tel que le reste R„ [x) de la série (9) soit en valeur absolue inférieur à s; ce qui prouve le second théorème d'Abel.
2416. En combinant ce théorème avec la proposition du n" 238, on voit que, si une série entière (9) est convergente pour une valeur X de la variable x^ la somme de la série est une fonction © (.2;) continue dans l'intervalle (o, X), y compris les limites de cet intervalle. Si donc j: tend vers X par des valeurs inférieures en valeur absolue à | X | , la limite de oix] est s 'X).
Par exemple, soit l'égalité
T~T+ ^ + ... = iog(i +^),
qui a été établie (n° 159) pour x compris entre zéro et un
la série convergente 1 — 5 + ô' ••• ^ P^^^i" somme log 2.
Application au tléveloppemciit de (1 -]-
247. Nous avons vu, au n° 157, que, pour toute valeur comprise entre — 1 et + 1, (1 + r)"' est la somme de la série
\A^mx^ ^ ^^ \/;^ + ...-f ^ .2 ...n '^'^'' + •••(16)
Si X tend vers 1, (1 + .r)'" tend vers 2'". Par suite, d'après le n° 246, pour x = 1, la série (16) représentera 2'", quand elle sera convergente. On est donc conduit à chercher dans quel cas cette série est convergente.
Le rapport d'un terme au précédent a pour expression
si donc on a »i + 1 ^ 0, les termes ne sauraient décroître indéfiniment, et la série est divergente.
Supposons, d'après cela, m >> — l. Pour n assez grand, la valeur absolue du rapport (17) sera
et nous aui-ons une série alternée dans laquelle le rapport
SÉRIES DE FOiN'CTIONS. SÉRIES ENTIÈRES 233
d'un terme au précédent est < 1 en valeur absolue ; en sorte que, pour prouver la convergence, il suffira de faire voir que le terme général tend vers zéro.
A cet effet, considérons simultanément la série
U (, , U ^ , . . . , Uni •••■>
formée par les valeurs absolues des divers termes et la série
dont le terme eénéral V„ = :• Nous aurons, par la for-
mule de Maclaurin bornée au secoad terme,
Y£±i/'| I ir"""''--1 m+\,{m-\-i){m-^^2) 1 / 6^-(^"+3)
c'est-à-dire
et par suite
V "' Ti '
puisque R est évidemment positif.
On déduit de là sans difticulté
Il <r V ^- •
or, si laissant n fixe, on fait croître yj indéfiniment, V,,^.,, tend vers zéro. Donc, en vertu de l'inégalité précédente, U„ + /, tend aussi vers zéro.
Ainsi la série (16) est convergente et représente 2'", quand i/i est supérieur à — 1.
On démontrerait, par un raisonnement analogue, que la série (!()) converge pour x = — 1, quand i/t est positif; sa somme est alors égale à zéro.
Intégration et différentîation des séries entières
^48. Soit L le rayon de convergence de la série entière
f ix) ^= Uf^ -{- a^x Ar ci.^x^ -f- ... -(- a^x'^ +'••• (18)
Dans tout intervalle (a, (3) compris entre ( — L, L), a et 3 étant distincts de — L et de L, la série est uniformément convergente, et le théorème du n° 239 est applicable. En particulier, si l'on choisit pour (a, i3) Tintervalle (o, x)^ X étant inférieur à L en valeur absolue, on a la formule
fr[x) = a,x + ^ + ... +7^ + - (19)
