Considérons maintenant la série

a, 4- "ia-^x + ... + nanX"-^ + ... (20)

formée par les dérivées des termes de la série entière (18). Soit X un nombre dont le module est compris entre | x j et L, L étant le rayon de convergence de la série (18). Supposons en outre X de même signe que x^ la série

1 + My +My +-+Mv +••• (21)

x; ' vx; ' '■■ ' vx

est convergente, puisque le rapport d'un terme au précé-

dent a pour limite ^^ qui est moindre que 1.

D'ailleurs cette série (21) a tous ses termes positifs, et si on les multiplie respectivement par les nombres

fl^, a^X, «3X2 ..., «„X'^-', ... (25)

on tombe sur la série (20) ; donc, pour prouver la couver-

SÉRIES DE FONCTIONS. — SÉRIES ENTIÈRES 2a 7

gence de cette série (20), il suffit de montrer que les multiplicateurs (22) restent finis. Or, cela résulte immédiatement de ce que «„X"~^ est le produit du nombre fixe :^

par rt„X„, qui est le terme général d'une série convergente.

La série (20) est donc absolument convergeDte dans l'intervalle ( — L, L), et, par suite, uniformément convergente clans tout intervalle (a, 3) compris dans le précédent (a et 3 étant distincts de — L et de L).

Donc (n° 240) la série (18) représente la dérivée /'(ar).

Ainsi, une série entière définit^ dans V intervalle ( — L, L). L étant le rayon de convergence, une fonction, continue et aijant pour dérivée la série formée par les dérivées de ses divers termes.

-i50. Il importe de remarquer que, le rayon de convergence L, de la série donnée, est aussi le rayon de convergence des séries qu'on en déduit par intégration ou par diiïérentiation. En effet, soit Lj le rayon de convergence de la série intégrale ; Lj ne peut être inférieur à L, d'après ce qui précède, et si Lj était > L, la série donnée, qui résulterait par dérivation de cette série intégrale, serait convergente dans un intervalle (—- L,, L,) plus étendu que son intervalle ( — L, L) de convergence.

Séi'ies de puissances de deii.v variahles indépendantes

làTii. Les séries examinées jusqLi"4 présent délinissaicnt (les fonctions d'une seule variable. 11 est aussi facile d'obtenir des fonctions définies par des séries contenant deux ou un plus grand nombre de variables. Nous n'examinerons que celles qui sont ordonnées par rapport aux puissances asîrondantes de deux variables, et nous ne démontrerons, à liMîr sujet, que deux tliéorèmes.

CALCUL INFIXITÉSIMAL. 17