Soit

S = ^a^^xHj^

une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x et de // ; soit encore, en désignant les modules par des grandes lettres

S, =2AapX«YP

la série des modules. Nous allons prouver que la première est convergente, si la seconde l'est.

Remarquons d'abord que, si la seconde série est convergente, le terme général devra tendre vers zéro. Supposons qu'il en soit ainsi pour un système de valeurs X=Xj, Y = Yj, non nulles des variables, et soit r la plus petite des deux quantités Xj, Y,. Le terme général devant tendre vers zéro, on aura a fortiori

lim Aaf:ir«)-i^ = o,

pour a ^= 00 , [i = 00 . Il existera donc un nombre M tel que l'on ait pour tous les termes

Gela posé, nous allons montrer que non seulement la série S,

mais encore les diverses séries— -? — ' r-^' ..., obtenues en

prenant les dérivées de chaque terme de S sont convergentes pour les valeurs de x et de y, dont les modules sont inférieurs ou égaux à une quantité quelconque p inférieure

a r. Considérons, par exemple, — -

oX

I^e module d'une somme étant au plus égal à la somme

des modales, on aura

^SocA.[,X-<YP<^^pp-P-.

Cette dernière série est le produit des deux séries convergentes

MS -£— et S ^« ;

elle est donc elle-même convergente.

Théorème du chaiiç|enient de variables

-ii53. Supposons que, dans la série précédente S, on remplace x et y par de nouvelles variables ainsi définies

y = ScyS^^Tv^ ; supposons ces deux dernières séries convergentes pour

supposons enfin

^00 = 0. Coo = G.

Nous allons démontrer que la fonction S, exprimée au moyen des nouvelles variables, sera donnée par une série

S = Sr/ySuTyS^

qui est convergente tant que \i et v restent inférieurs à un nombre donné non nul.

Tout le tbéorème consiste en ce que l'on peut intervertir, après substitution, l'ordre des termes, et l'on sait que c'est possible dans les séries absolument, convergentes. Consi-

26er CHAPITRE XIV

dirons donc la série des valeurs absolues

SAap [SB,gUTV5]a [vC^,gUTVS]fi.

Par hypothèse, il existe des nombres. M, N, P, tels que l'on ait

^'TS < XT + S'

On a donc

vB,6UT\- < N 2 yTTâ-

ZCvfiUn'S < P

Supposons que, y. étant un nombre donné inférieur à a, on ait

[es inégalités précédentes entraînent SB^,8Uns <

SC^^sUtYS < P

Déterminons maintenant [x, de manière- que les seconds

membres soient inférieurs à r, ce qui exige que l'on ait

^<''[i-\/pTT.}

Choisissons pour \x la plus grande des valeurs satisfaisant à ces deux inégalités ; nous pourrons affirmer que les deux séries SB^sUtYS et SGysUTV^ prennent des valeurs Sj et S^ inférieures à r. La série (23) sera inférieure à

MS

ce qui assure la convergence absolue de la série

et, par conséquent, démontre le théorème.

125^. Au lieu d'une série, supposons que S soit un des polynômes x -\- y, x — y, xij. La démonstration précédente s'applique. L'addition, la soustraction, la multiplication de séries qui sont convergentes, tant que les variables restent inférieures à un nombre donné, conduisent à des séries de même nature.

Définitioiis relatives aux expressions iiiiac| inaires

2i55. 11 n'a été question, dans les chapitres précédents, que des fonctions réelles de variables réelles. 11 s'agit maintenant d'étendre notre analyse au cas des fonctions d'une variable imaginaire.

Mais il importe de rappeler d'abord les propriétés fondamentales concernant les quantités imaginaires, c'est-à-dire les quantités de la forme

a -\- bi,

a et h désignant des nombres positifs ou négatifs, et i le

symbole sj — 1.

On peut toujours trouver un nombre positif/' et un angle a, tels qu'on ait

a -{- bi = r(cosa + i sina). (i)

11 suffit, en effet, de prendre

r = -f- \Ja^ -f b-'

et

COSa=: i Sma= ,

+ s/a^ + 62 -\- si a'' -f h^

Le nombre positif r est dit le module^ et l'angle a est dit Xargument de la quantité imaginaire a -\- hi.

Des formules précédentes résultent aisément les résultats suivants :

1° Le module /- est parfaitement déterminé, tandis que l'argument a admet une infinité de valeurs formant une progression arithmétique dont la raison est 2- ;

2" Pour qu'une quantité imaginaire soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul.

3° Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et il suftitque leurs modules soient égaux et que leurs arguments ditfèrent d'un multiple de 2îr.

Observons enfin que les quantités positives ou négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue, et dont l'argument est un multiple pair ou impair de t.. C'est ce qui explique pourquoi nous avons souvent employé déjà le mot module pour désigner la valeur absolue d'une quantité réelle.

Module d'uii produit ou d'une somme

—56. En multipliant l'une par l'autre deux expressio^is imaginaires

r, (cosa, -f- ^' siiix,), r2(cosa2 -|- ^ sinxo), (2)

on obtient sans difficulté l'expression imaginaire

r,r Jcos (a, + a^) + i sin(a, -f- a^)], (3)

dont le module est égal au produit des modules des facteurs et dont l'argument est la somme des arguments.

La proposition s'étend d'ailleurs au produit de ui facteurs; il faut toujours multiplier les modules et ajouter les arguments.

En particulier, si l'on suppose les m facteurs égaux (Mitre

eux et ayant chacun pour module l'unité, on obtient une formule célèbre

(ces a -j- i sinv.)'" = ces ma -|- i sinmoc, (4)

qui a reçu le nom de formule de Mowre.

Elle donne immédiatement les valeurs de cosnta et de sinwia, en fonction de sina et de cosa; en eli'et, en combinant par addition et par soustraction la relation (4) et celle qu'on en déduit en changeant a en — a, on obtient

2 ces ma = (ces a -\- i sin a)'" -{- (ces a — i sin a)'" | ^^ 2i sinmx = (ces a ~\- i sin a)'" — (cosa — i sin a)'" j ^ •'

257. Poir/' qiriiïi produit de plusieurs facteurs soit nul, il faut et il suffit que ru)i des facteurs soit nul.

Ce théorème, démontré dans les éléments pour les facteurs réels, s'étend aux facteurs imaginaires. Cela résulte immédiatement du n° 255, 2\ et du n° 256.

—58. Deux axes rectangulaires Ox et Oij étant tracés dans un plan, on représente une quantité imaginaire quelconque a -\- bi par le point M du plan, ayant a pour abscisse et b pour ordonnée. La distance OM de l'origine 0 au point M est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle XOM est l'argument.

Ce mode de représentation imaginé, par Gauchy^, permet souvent de simplifier les énoncés et même les démonstrations.

Par exemple, si A et B sont les points représentatifs de deux quantités imaginaires, on voit de suite, en complétant le parallélogramme AOBC, que l'on a

OC < OA + AC ou OC < OA + OB,

c'est-à-dire que le module de la somme est moindre que la somme des modules. Ce théorème subsiste quel que soit le nombre des termes de la somme.

' Gauchy donne au point représentatif M d'une expression iinaginaire le nom à'af'fixe de cette expression.

Séries à termes imacjînaîres

25Î). Lorsque deux séries iq, ii.,, Uo, ..., l'n ..., et v^, «,, ..., v„, ..., à termes réels, sont convergentes et ont respectivement pour sommes U et Y, on dit que la série

est convergente et a pour somme U + zV.

La série (6) est dite au contraire divergente si les deux séries (5) ne convergent pas Fane et l'autre.

11 est à peine besoin d'observer que, si la série (6) est co/iv/'rgente, son terme général doit tendre vers zéro, lorsque n croit indéfiniment, puisque u„ et (?'„ tendent vers zéro.

Une série (6) est convergente lorsque les modules de ses termes forment une série convergente.

En elt'et, soient r„ le module et y.,^ l'argument du terme général, on aura

u„ = r„ ces 7.„ et v„ = r„ sin a„ ;

?(„ et Vn sont donc moindres en valeur absolue que r„, et puisque la série r,, ro, ..., ;•„, ..., est par hypothèse convergente, les séries u^, «,, ..., et i',, r.^, ... sont convergentes et par suite aussi la série ((3). Cette série étant d'ailleurs absolument convergente, on montre, comme, dans le cas des quantités réelles, qu'on peut changer l'ordre des termes sans altérer ni la convergence ni la somme.

Enfm le théorème de Cauchy sur la multiplication de deux séries subsiste pour les séries à termes imaginaires. En efl'et, observons d'abord que le théorème, ayant été démontré au n" 144 pour des séries à termes réels, est exact pour l(;s deux séries

<ï„, tt^ , ..., Cl,,, ... I ,,

formées par les modules des termes des séries proposées à termes imaginaires (6j.

Or si l'on pose

s,i = «0 + "i + ■•• + "«-n Sn = ^0 + "i 4- ••• + ^''«-n < = «^0 -f ?^i + ••• + ^^«-n on a

En prenant alors les modules des deux membres, et observant que le module d'une somme est au plus égal à la somme des modules, on voit que le module ;j. de s,,s,[ — s", est égal ou inférieur à

a^b„^^ -[- ...-{-«„/;, + . . . -[- rt„ - , ^/, - , ,

c'est-à-dire à

Mais, quand n croit indéfiniment, la limite de cette expression est nulle; donc [x a aussi pour limite zéro; en d'aulres termes, la limite de s", est égale au produit des limites de .s'„, s', . Ces préliminaires étant établis, nous pouvons passer à la définition des fonctions d'une variable imaginaire.

Définition d'une fonction tl'une variable imaginaire

260. « Lorsqu'une fonction ç-(s) est donnée pour toutes « les valeurs réelles de la variable dont elle dépend, elle « n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z « par une expression imaginaire x + j/i. L'expression « (^{x-\-yi) ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans « les raisonnements, sans une définition précise, qui, pour « toutes les valeurs réelles de x et de y, en fasse connaître « la partie réelle et la partie imaginaire en permettant

« d'écrire

çp (^ -f- iji) = P + Qt,

« P et Q étant deux fonctions réelles connues de a: et de y. « Il ne faut pas croire cependant que toute expression « P H- Q^ où P et Q sont des fonctions des variables « réelles .i* et y, soit une fonction de x + yi. Pour la con- « sidérer comme telle, on exige une condition sans laquelle <( disparaîtrait toute analogie entre les fonctions imaginaires « et les fonctions réelles ; il ne suffit pas que l'expression « P + Q?' soit déterminée lorsqu'on se donne x et y; il « faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée. Si l'on « voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonc- « tions imaginaires serait simplement celle des fonctions «. réelles de deux variables, et leur étude spéciale n'offri- « rait aucun intérêts»

261. Cherchons donc la condition que doivent remplir P et Q pour que l'expression P + Qz ait une dérivée unique. Nous supposons d'ailleurs que P et Q soient des fonctions continues et aient des dérivées partielles continues.

Le rapport

? {x-\- Aa;, y ~\- Ay) — P [x, y) -\~ i [ Q [x -\- A.r, y + i^y) — Q (^^ .v)]

peut être mis sous la forme

Lx(g + e) + ^y (I + s') + .• [a. (g + . ) + Ai/(| + v)"

Lorsque A.r et Ly tendent vers zéro, il en est de même

de £, £', r^, y;', et si l'on désigne par \j. la limite du rapport

-7-^' on aura pour la limite du rapport (7)

' J. Behthakh, Truilc de Calcul dlf/'ereitliel et iiilégral.

On voit que cette limite dépend de [j,. L'expression P + Qi a donc, pour ctiaque valeur de la variable x -f- yz, une infinité de dérivées qui diffèrent suivant la manière dont dx + idy tend vers zéro. Pour que la dérivée soit unique, c'est-à-dire pour que le rapport (8) soit indépendant de [j., il faut et il suffit, d'après un théorème connu d'algèbre élémentaire, que, dans (8), le rapport des quantités qui ne contiennent pas ;j, soit égal au rapport des coefficients de [j. ; on aura donc la relation

^oc c»,/' ^y ^y

qui équivaut aux deux suivantes

ci.r ^y 7)y ^x

Telles sont les conditions pour que P + Q^' ait, pour chaque point, c'est-à-dire pour chaque système de valeurs de X et de ?/, une dérivée unique. On dit alors que l'expression P -h Qz' est une fonction analytique A^ x -\- yi\ en outre la dérivée est représentée par l'un quelconque des deux naembres de l'égalité (9).

Séries entières d'une variable imat/înaire

262. Les séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes d'une variable z jouent un rôle très important en analyse. Nous avons étudié ces séries (n° 241)

dans le cas oii les coefficients «q, rt^, ..., et la variable z sont réels. Nous allons maintenant généraliser les résultats obtenus, en supposant que les coefficients a^, «j, ..., et la variable z soient imaginaires.

Et d'abord le premier théorème d'Abel subsisle. Voici son énoncé :

Si pour une valeur Sg de z on «, quel que soit n,

M étant un nombre fixe, la série (il) sera convergente pour toute valeur de z ayant un module moindre que celui de 2q.

La démonstration donnée au n° 245 reste ia même; il n'y a qu'à remplacer les mots valeur absolue par module.

On peut aussi, comme nous l'avons fait à l'endroit cité, déduire de l'énonce ci-dessus le suivant, qui n'en diffère pas au fond :

Si la se'rie (H) est convergente pour z --^^ Zq., elle est absolument convergente pour toutes les valeurs de z de module moindre que | -q | .

263. Désignons par R le plus grand module de :: pour lequel les modules des termes de la série n'augmentent pas indéfiniment, et soit G la circonférence ayant pour centre l'origine et pour rayon R.

D'après le théorème ci-dessus, la série (11) converge pour toute position du point z dans l'intérieur du cercle G. Elle diverge pour tous les points extérieurs; car, si on attribue à z une valeur ayant un module supérieur à R, les modules des termes augmenteront indéfiniment. — On donne, d'après cela, au cercle G le nom de cercle de convergence de la série. Il sépare la région où la série converge de celle 0(1 la série diverge.

11 y a incertitude sur la circonférence G. Toutefois 011 peut afiirmer alors qu'il y aura divergence si, pour le module R, les modules des termes ne tendent pas vers zéro.

1264. La série (11) et la série

a, -f 'îa.^z 4- -ia^z'- + ...-[- na„z--' + ..., (If)

formée par les dérirées des divers termes de (11 i ont le même cercle de ( oiiverqcnce.

En elFet soient C le cercle de convergence de la série (11) et R son rayon. Imaginons nn cercle G' concentrique avec G et dont le rayon R', moindre que R, peut en différer aussi peu qu'on veut. Enfin attribuons à z une valeur dont le module /' soit inférieur à R'. Multiplions les termes de la série

qui est évidemment convergente, par les expressions

a,, a.jR', KgR'-, ..., a„R'"-\

dans lesquelles «j, x,, ..., désignent les modules de «j, «., ... Gomme ces multiplicateurs tendent vers zéro et, par suite, restent finis, la série résultante sera convergente dans le cercle G' et sur sa circonférence. Or cette série est précisément la série des modules des termes de (13) ; donc la série (12) est convergente dans le même cercle que (11).

ii65, La fonction. f[z) définie par la série (11) a une dérivée pour toute valeur de z comprise dans le cercle G de convergence de cette série.

À\ s'agit de prouver que, si le point z est intérieur au cercle G, le rapport de l'accroissement de/(s)à h tend vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle h tend vers zéro, c'est-â-dire quelle que soit la route suivie par le point z ^ h pour venir se confondre avec le point z.

On a

f{z] = «0 + «,^ + a,y- + ... + an2" + ..., f[zJrh) = «0 + «. [^ + ^^) -1- «2(^~ + l^y -f •■• +«« (^ + ^)" + •••'

et par suite

riz + h) - f[z) = a,h -f ... + aAnz'^-^h + ...) + ...

Le point z -\- h étant suffisamment voisin du point ;, la série /'(:; + h) sera encore convergente, quand, à la place

de 5, A, rt„, ..., on mettra leurs modules Z, H, A,j, ... On pourra alors, dans cette série à ternies positifs, supprimer les parenthèses et grouper les termes de telle façon qu'on voudra; par exemple, on pourra écrire

f[z^h)-rh) = li{a, + ...-^na„z--^ + ...) + A'^cp (^) ;

d'où Ton déduit, en divisant par h et faisant tendre h vers zéro

Donc la fonction f {z) a une dérivée/' [z) que Ton obtient en prenant les dérivées des divers termes de la série (11). Cette série est donc vj\(i fonction analytique de z.

î)éiîiiilîoii des l'oiictions e% sin^, cos 3

—06. « Les conditions (10) sont les seules qui soient « imposées aux fonctions imaginaires, et, pourvu qu'elles « soient remplies, la définition reste entièrement arbitraire. « On conçoit cependant qu'une fonction imaginaire ne s'in- « troduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'elle « sera réellement la généralisation de la fonction réelle de « môme nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose u. y =0, et qu'elle partagera ses propriétés caractéristiques. « Celte analogie, regardée a priori comme une condition « essentielle, est la base des définitions que nous allons « donner des fonctions les plus simples '. »

-i67. Les fonctions e', sin;, coss, sont représentées lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes

"^ = ' + 1 + 1— 2 + - + rTfb7; + -- ('*)

^'"" = f-rTT:3 + l.a.3'.4.5-- ('3)

cos.^l-j^ + ,j-^i^-,. (16)

' .J. JÎEKTlIA.Mi, locO Cilalo.

Lorsque z est imaginaire, ces séries sont aussi toujours convergentes; on les prend alors pour définition des fonctions e\ sin 2, cos:;.

1° L'application du théorème fondamental (n° 265) sur la différentiation des séries entières donne

dz ^1^1.2^

c'est-à-dire

-lîT = ^^' et l'on obtient de la même façon

,.„,, d . 'sxwz d.cosc . ,,„,.

(lo ) ; =cos^, = — sin^, 16

^ ' dz dz

Ainsi les formules (14') (15') (16') sont les mêmes, que z soit réel ou imaginaire.

2" On peut exprimer les fonctions circulaires en fonction des exponeatielles. En effet, en changeant dans la relation (8) z en iz, en ayant égard à (9) et (10), on obtient la formule

e'" = cosz -\- i &mz ; (17)

pais, en la combinant par addition et soustraction avec celle que l'on trouve en changeant s en — s, on a les formules demandées

cos^ = 5 sin^ = — (18)

3° La propriété fondamentale

e"^ . ey =r e«+?/ (19)

de la fonction exponentielle s'étend au cas où x et // sont imaginaires.

Lu effet, si l'on applique aux deux séries absoUmicnt

convergentes

la règle du n" 259, on voit, pour un calcul très simple, que le produit e"". e" s'exprime par une série dont le terme général est

ce qui justifie la formule (19).

4" Les formules fondamentales de la trigonométrie

sin"^^ -f- ces- .s- = 1, (iO)

CCS (a; -\- y) =: coso:' cost/ — siniP sini/, (21)

sin (x -f- i/) = sina; ces?/ -]- cosr/; sin^, (22)

s'appliquent aussi lorsque x et y sont imaginaires.

La première (20) s'obtient immédiatement en multipliant membre à membre la relation (17) et celle qu'on ea déduit en y changeant r- en — ::.

Pour obtenir les relations (21) et (22), on multipliera membre à membre les formules

e'* = COS.» -|- i sin a;, e'^ ^ cos</ -f- i sin y,

ce qui donne

ces (.'• -{- i/] -\- i sin(./; -]- y) ^ (ces a? cos/y — sin a; sin y)

+ (cosj; sin?/ -f- cos.v sin a?) i,

et par suite en changeant x en — .r et y en — //

ces (a- -\- y) — i sin i.r -\- y) = (cos.r cosy — sin a; sin y)

— (cosa' sin y -\- cosy sin.r) {.

Il sullit maintenant de combiner ces deux relations, par addition et par soustraction, pour obtenir (21) et (22). rv Lnfin on peut facilement mettre les expressions

f^jc-i iy^ sin(,)' -)- iy), eos(.'' -|- «//),

CALCUL INKINIIKSIMAL. 18

SOUS la forme P -h Q s/ — 1, j: et ?/ étant supposés réels. La chose est immédiate pour la première expression, car

on a

Qx^iy — - gx giy -— e^ [q,os y -\- i sini/).

Considérons maintenant les d eux autres : on a

cosfa^ -f~ y^) == cosdj cos^v^ — &n\x &myi, sin [x -f- yi) = sin x ces yi -\- cos x sin yi ;

les formules (18) donnent

e'J 4- e '^ . e-y — e^' . e-" — e-v cos yi = -z j sin yi = = i ^ ;

donc

cos (a; -f- iji] = cos.i? ^ smx ii

. , . ey 4- e-y , e'/ — e-y . sm [x -\- yi) ■= sm x -|- cos ,57 i.

-i68. Les autres fonctions circulaires directes, s'expriaiant à l'aide du sinus et du cosinus, sont définies par ces expressions. C'est ainsi que la relation

sin^tanff^ = '

^ coss-

qui a été démontrée pour :; réel, sert de définition à tgr, quand z- est imaginaire.

I^oc|ai*itIiiiies et ïonctioiis circulaires inverses d'une variaï)le iniaç/inaire

-i69. Lorsqu'on a

on dit que 7i est le logarithme (népérien) de z, et l'on écrit

u = loQz ■ (24)

Si l'on pose

z = ?'{cosa -j- i sina) = re="', (25)

il est aisé de mettre log z sous la forme p -\- qi. En effet, on doit avoir, d'après la relation (23),

re="'= ei' ^ 'i' = eP . et' \

d'oii l'on déduit

ei> = r, ^ = a -f 2A^T, (26)

k étant un nombre entier arbitraire.

Or il existe une seule valeur réelle de p satisfaisant à la première des relations (26) ; c'est le logarithme népérien arithmétique du module r\ nous la désignerons par log'r, et nous aurons

log.-^log-'r + ^(-^ + 2/'7r). (27)

Ainsi le logarithme d'une quantité imaginaire z a une infinité de valeurs qui ont toutes la même partie réelle log'y, tandis que le coefhcient de i est l'argument a de z augmenté ou diminué d'un multiple entier de 2-.