On peut vérifier que

d log^ 1

dz z

1271. Enhn, de la relation e^' . e" ^6" + ", on déduit la propriété fondamentale des logarithmes

\0g{'Uv) = logM -\- logU.

1272. Les fonctions inverses

arc sin^, arc co^z, arc langer se ramènent aisément aux logarithmes.

En prenant les logarithmes des deux membres de la relation

e'-'^ =^ COS.:;; -)- i sina;, on obtient

icc = log(cosa7 -|- i sin^), (28)

si donc on pose

sin.x* = z, cos j; = yl — -2'", se := arc sin^,

on trouve

arc sin 5- = - log-^Vl — z'^ -\- iz).

Cette formule montre que, si 2 est donné, l'expression

yl — 2' H- iz a deux valeurs, à cause du double signe dont le radical est susceptible; de plus, à chacune de ces deux acceptions, correspondent encore une infinité de valeurs de arc sins, vu l'infinité des valeurs du logarithme.

'^73. Si, dans la formule (28), on pose

CCS a' := Z, shi Z = y^l — œ-, a- =• arc cos^.

on a

arc cosz = - log {z -j- / y^l — z-)

2,7^. Si l'on prend les logarithmes des deux nombres de la relation

ces a? -f- ^' sina; 1 -j- ^' tanga?

CCS a; — i sin.i; 1 — ï tanga'

on obtient

1 , I -j- ^ tanffa^

œ =: — loff : — ■ — : ^— •

Si ^1 — î tango;

et, en posant

tango; = z, a) =: arctang^-,

on trouve

1 , 14-12 i . 1 — iz arc tang . = - log j— — = - log^qT" 5

à chaque valeur de z correspondent une infinité de valeurs du logarithme, et, par suite, une infinité de déterminations de la fonction inverse arc tg z.

Remarquons enfin que, tandis que les fonctions circulaires directes s'expriment au moyen des exponentielles, les fonctions circulaires inverses s'expriment à l'aide des logarithmes. Donc, comme le logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle, on voit qu'on peut tout ramener aux exponentielles,

ii75. Nous devons encore dire un mot sur la définition de u" lorsque u et v sont des quantités imaginaires.

Lorsque u et v sont réels et que ii est positif, on a l'identité

On prend cette identité pour définition, quand u et v sont imaginaires.

D'après cela, u" a une infinité de valeurs, puisqu'il en est ainsi du logarithme. Ces valeurs peuvent ne pas être toutes distinctes. En supposant par exemple que v soit une

fraction réelle irréductible-? on aura

d'oii l'on voit qu'il suffit d'attribuer q valeurs entières con-

sécutives à k pour obtenir toutes les valeurs de u'^ . Ces déterminations sont en général distinctes et ne peuvent s'échanger entre elles que si la variable dont u dépend lui fait acquérir des valeurs égales, infinies ou indéterminées.

CHA.PITRE XYI

Rappel de notions élémentaires

276. Si les variables qui figurent dans une équation désignent des grandeurs géométriques, cette équation prend, suivant les cas, diverses significations dont nous allons indiquer les principales, en nous bornant dans ce chapitre au cas de deux variables.

277. GooRDOiNNÉEs RECTiLiGNEs. — Soicut ^, y, Ics coordonnées d'un point M par rapport à deux axes Ox, Oy ; le lieu des points donl les coordonnées satisfont à l'équation

est une courbe plane dont cette relation est dite V équation en coordonnées cartésiennes ou reclilignes. Par exemple

y ^ mx -\- n

est l'équation d'une droite, et l'on sait que m est le coefficient angulaire de la droite, et n l'ordonnée à l'origine.

278. Coordonnées polaires. — Soient p et w le rayon vecteur OM et l'angle x(M ; le lieu des points dont ces deux

nouvelles coordonnées satisfont à l'équation

est une courbe plane dont cette relation est dite V équation en coordonnées polaires. Par exemple, l'équation

p"- = a sin nm (3)

représente

si yî = 1, un cercle ;

si n ^ — 1, une droite ;

si 7^ = 2, une lemniscate ;

si n = — -2, une hyperbole équilatère ;

si n = -5 une cardioïde ;

si n = — -' une parabole.

Les formules (11) du n° 104 permettent, étant connue l'équation d'une courbe en coordonnées cartésiennes, d'obtenir l'équation de la même courbe en coordonnées cartésiennes. Il suffit pour cela de remplacer dans l'équation donnée .r et y par les expressions

œ = ç> cosw, y = p sinco. (4)

Inversement, on passera de l'équation (2) à l'équation cartésienne en posant

cosw = -> sinto = - ^ ^

ii7î>. Coordonnées tangentielles. — Soient a et r les inverses des segments interceptés par une droite sur les axes 0^' et Oy, de manière que

UCi' -\- VjJ — 1 = G (6)

soit léquation de cette droite ; // et v pourront être dites les

coordonnées de cette droite et toute relation de la forme

cp(-M, u) =: 0 (7)

définit un ensemble de droites dont les coordonnées vérifient cette équation. Nous démontrerons plus loin que ces droites sont toutes tangentes à une même courbe (C) ; l'équation (7) est dite l'équation tangentielle de cette courbe.

Dans des cas particuliers, (G) peut se réduire à des points; ainsi l'équation

au -\- hv — '1 = 0 (8)

définit évidemment toutes les droites passant par le point M qui a pour coordonnées cartésiennes

L'équation (8) est V équation du point M

Nous donnerons plus loin le moyen de passer de l'équation cartésienne d'une courbe à son équation tangentielle et inversement (voir n° 358).

280. Coordonnées homogènes. — Il est souvent commode de considérer, au lieu des équations (1) et (7), des équations homogènes. Voici comment on y parvient : posons, soit dans l'équation (1)

soit dans l'équation (7),

ces équations deviennent

nx,y)= F(X, Y, Z) =0, cp(w, y)=^(ï)(U, V, W) = o,

et on les nomme respectivement équation cartésienne homogène ou équation tangentielle liomogène des courbes correspondantes. Le principal avantage de cette nouvelle conception est d'obtenir tous les points ou toutes les droites d'un plan, même à l'infini, par des valeurs finies des variables. La seule restriction à laquelle sont soumises ces coordonnées homogènes^ c'est de ne pas pouvoir être nulles toutes les trois en même temps.

En coordonnées cartésiennes homogènes, s = o sera une coordonnée d'un point rejeté à l'infmi dans la direction

En coordonnées tangentielles, une droite rejetée à l'infini aura pour coordonnées U = o, V = o, W n'étant pas nulle.

Il est à peine utile de faire remarquer qu'on pourra toujours revenir de l'équation homogène à l'équation ordinaire , en faisant soit Z = 1, soit W = 1.

Exemple. — Exprimer que l'équation

AU2 + A'V^ -f- k"W- + 2B"UV -f âB'UVV -h 2BVW = o,

qui est celle des coniques, représente une parabole.

La parabole ayant une tangente à l'infmi, il suffit d'écrire que cette équation est vérifiée lorsqu'on y fait U = o, V = o ; la réponse est donc

— Î51. Quel que soit le système de coordonnées employé, les deux variables qui définissent la courbe peuvent toujours être considérées comme exprimées en fonction d'un paramètre. Ainsi l'équation (1) sera remplacée par les deux équations

entre lesquelles il suffirait d'éliminer t pour retrouver l'équation (1). Il est évident qu'on peut toujours prendre pour

paramètre l'une des deux variables ; on revient alors au point de vue primitif.

Différentielle de l'are de courbe'

2812. Nous reviendrons d'abord sur la notion de longueur dans les lignes courbes. Nous n'envisagerons que celles pour lesquelles les deux coordonnées d'un point s'expriment par des fonctions d'un même paramètre, qui admettent des dérivées continues et non nulles en même temps, ou du moins nous n'envisagerons que les portions de courbes, dans lesquelles cette hypothèse peut être faite, c'est-à-dire que nous exclurons les points singuliers.

Soient

ûc = r[t) \

les deux équations qui définissent la courbe, t^ et Tq les valeurs du paramètre auxquelles correspondent les points A et B (T|^ >> Iq). Soient t^, t.-,, /o, ..., 4, k valeurs intermédiaires entre /g et Tq, et soient Aj, Ag, ..., A,,, les points correspondants; le polygone AA(Ao...A;,B aura pour longueur

i étant un quelconque des nombres /,„ t^, ..., 4. Nous appellerons longueur de Varc AB la limite de L lorsque les côtés du poligone tendent vers zéro. Mais, pour que cette définition soit bonne, il faut démontrer que la longueur définie reste la même, quel que soit le mode d'interpolation des valeurs /j, /o, ..., 4. A cet effet, intercalons dans chacun des intervalles précédents de nouveaux points de division, et soient

1 Voir la note de la page 21.

les valeurs du paramètre correspondant à l'intervalle /,/, + i; soient

les points correspondants, et

i;=s V(^,V, -^^i)^ + (i//+. -yi)^

la longueur du polygone A...A;A'j^...AVA;+i...B. 11 s'agit de prouver que

lim(L' — L) =0.

Or le théorème des accroissements finis donne

^l'+JI ^i = (.'/-J- I ';■) / \'^i)^

Vi+i — Vi = {ti+ I — t,) 9' (t/),

T,, -',, 0/, Oy, étant des valeurs du paramètre comprises entre /, et /, + i. On aura donc

et, comme

on pourra aussi écrire

To

Donc

To

Vr-(o.j + a,'=-'(6;) + vT' (t,) + f^o;)

Mais les dérivées /''(^) et ç'(7) ont été supposées continues; il en est de même de leurs carrés. Donc, d'une part, à con dition de prendre tn.^ — /, inférieur à un nombre s suffisamment petit, on pourra rendre

l étant un nombre donné; d'autre part-, le dénominateur sera aussi voisin que l'on voudra de la quantité

et par suite, supérieur à un nombre A, plus petit que le minimnm de cette quantité, qui n'est pas nulle par hypothèse. On aura donc finalement

ou

L'-L<|(To-g.

Donc

lim(L'-L) = o.

Cela posé, soit une autre division arbitraire de l'intervalle /qTq, et soit h" le polygone qui en résulte. Il suffit de supposer que L' contient tous les sommets de U\ pour avoir aussi

Iim(L'— L") = 0.

Il en résulte

lim [h" — L) = G,

ce qui est la proposition annoncée.

283. On peut déduire de là la valeur principale de l'arc infiniment petit, c'est-à-dire la diflerentielle ch de l'arc s. Il suffit pour cela de réduire le polygone L à un côté

AL == ^[r{t + Ao -f{t)f -h [?(^ + Ao - o(^j]^ ■

COURBES PLAiNES 283

et Ton aura, d'après ce qui précède,

^s — ^L < -r Af,

£ tendant vers zéro avec A/, â.s et AL ont donc même valeur principale; donc, puisque la valeur principale de

/■(^-H M) — f[t) est /■'(/) dt, et celle de ^{t + ^t) — 5'(/), (p' [t] clt^ on aura

Cls = dl s//"- (0 -f Cp'2 {t)

En particulier, si t = x

ch =1 dx ou

ds^ z= dx'^ + f/y2^ (10)

ce qui s'exprime en disant que l'arc et la corde ont même valeur principale.

1^84. Si la courbe présente un point singulier M, soit / la valeur du paramètre qui donne ce point; on définira, d'après ce qui précède, la longueur de l'arc [t. + s, Iq)^ et l'on fera tendre s vers zéro.

;i85. On appelle courbes rectifiables celles pour lesquelles

la longueur de l'arc et les coordonnées s'expriment par des

fonctions antérieurement connues d'un même paramètre, et

le problème qui consiste à rechercher ces fonctions s'appelle

rcclificafioii de l'arc. Ainsi, au point où nous sommes arrivés

de cet ouvrage, l'ellipse ne ])eut être rectifiée parce qu'on ne

connaît pas de fonction algébrique, trigonométrique ou

logarithmique, qui ait pour diiïérentielle la différentielle de

l'arc d'ellipse