a'' — c^a?'^ ds

On étudiera dans le second volume de l'ouvrage de non-

velles fonctions, grâce auxquelles la rectification de l'ellipse pourra être opérée.

286. Rectification de la cycloïde. — On appelle cycloïde la courbe engendrée par un point donné d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe indéfinie qu'on nomme ô^tse. On voit facilement que les coordonnées d'un point M en fonction de l'angle t dont aura tourné la circonférence sont données par les formules

\ X =^ ait — sin^), / ?/=«(! — cos^),

dans lesquelles a désigne le rayon du cercle. On suppose les axes rectangulaires et l'on prend pour axe des x la base de la roulette et pour origine la position du point décrivant au moment oiî il est sur Oj'.

On en déduit

dx z= a[\ — cos<) di^ dy = a sin tdt.

Donc

ds"- = 2^2(1 cos^ dl'^

ds

4rt'' sui''- df-^,

"la sin - dt.

FiG. 7.

on a donc pour l'arc, en intégrant,

s = — 4a ces - 4- C.

A l'origine de l'arc on a

d'où, en éliminant la constante,

s = Aa ( 1 — ces - j = 8rt sin- -•

Pour obtenir la longueur d'une des branches de la cycloïde, il suffit de faire / = 2-, ce qui donne

s = Sft.

Taiijieiite et normale en coortlonnées rectilignes

-i87. Il a été démontré au n° 2 que le coefficient angulaire de la tangente à une courbe plane est égal à la dérivée de l'ordonnée prise par rapport à l'abscisse. L'équation de la tangente en un point [xq, //q) de la courbe sera donc

ou

y .Vo ^ ^(\

dy^

CtJu(\

mMi. La normale en un point, c'est-à-dire la perpendiculaire à la tangente au point de contact, aura pour équation, si les coordonnées sont rectangulaires,

dy^

\\Xj — — iX'rt ' •

ou

[.X. — ./.-o) dx,, -^ [y — y^) dy^=. o, et, si les axes de coordonnées sont obliques et font un angle 9 , [x — x^) [dx^ -f- dy^ cos 9) + (y — y^) [dy^ -^ d.>\^ cos 6) = o. ExKRcicE. — Démontrer que, dans la chaînette,

la projection de l'ordonnée sur la normale est constanle.

280. Théorème. — Sur tin arc de courbe^ il existe en général un point au nioins^ où la tangente est parallèle à la corde de Tare.

Soient en etfet .z, // = / [x] et x + A, y -^- k ■= f [x -\- h), les coordonnées des extrémités de l'arc; le coefficient angulaire de la corde sera

fjcc + h\ — f{x) k h ~ h'

or si, le long de l'arc, on peut appliquer à la fonction /(•/"), le théorème des accroissements finis, on aura

/•(^ | h) ^(^fcc) = hf [x + 0/?), et par suite le coefficient angulaire de la corde pourra s'écrire

r{x-{-bh),

c'est-à-dire qu'il sera égal à une des valeurs que prend, en vertu de l'hypothèse sur la continuité de/"'(.r), la dérivée /' [x] entre les valeurs extrêmes f (x) et f [x + h).

290. Exemple. — L'équation de la tangente à la cycloïde au point M s'obtient immédiatement en prenant les valeurs de dx^ di/, trouvées à la page précédente

/. \ sin^ r / • -,

1/ — « 1 — ces t) = 7 \x — ail — sin l,}\.

On voit que cette droite passe par le point

00 = at^ y = 2rt ;

c'est le point P le plus haut de la circonférence roulante qui passe par le point M. La tangente est donc MP. En particulier au point 0, la tangente est Oy. La forme de la courbe en résulte immédiatement.

La normale, qui a pour équation

\x — a [l — sin ^)] [\ — ces t) -\- sin / [?/ — a (1 — cos /)] = o,

passe au point [x = at, y = o) , oii la circonférence touche Taxe des x.

Autres formes des équations de la tangente

20 1. Dans le cas où la courbe est donnée par l'équation (1), le théorème relatif aux fonctions implicites (n" 92) permet d'écrire

dy^ f Xf^

l'équation de la tangente sera donc

(^ - ^o) fx, + (y - y,) n, = o- (l'i)

celle de la normale sera

^ — ■J^'o Il — .Vo

'"fn 'i/o

si les coordonnées sont rectangulaires, ou si les coordonnées sont obliques,

•'• — •'•.. y - !Ua

/"io - /!y„ cos 0 Z";,^ — /"i^ cos 6 L'équation (M) peut s'écrire

<io + yfk - ^o^xo - vJli, = o- (1'^)

Introduisons maintenant les coordonnées homogènes, et soit

l'équation de la courbe donnée. Le point .r,^, y,,, do la courbe peut être considéré comme ayant pour coordonnées

CALCUL INFIMTÉSIMAL. 19

homogènes une valeur constante quelconque, Zq pour Z, el pour ses autres coordonnées

I Yo =2/0^0.

de telle sorte que

et Téquation de la tangente peut s'écrire, d'après (12)

l^p' i-F' i^F' liJF' — o-

Z^^^o+Z^^'o Zo ^0 Zo^^'""" '

or le théorème des fonctions homogènes, n° 184, nous a appris que, en appelant m le degré d'homogénéité de

X„F^^ + YoF^.^^ + ZoF; = mY (X^, ¥«, Z,) = o fl3)

le second memhre étant nul, parce que le point X^, Y^, Z^, est sur la courbe.

On tire de là

flii u ' I Lo p ' __ F '

et l'équation de la tangente devient

77 Fy + TT Fy -î- F, =0,

OU enfin

XF,^ + YF;^ + ZF4 = o. (14)

iitF>2. Exemple. — La courbe /y = x tang - a pour équa-

tion en coordonnées homogènes Y ^ X lang:^; sa tangente

au point Xq, Yq, Zq, aura donc pour équation

x/tang|- ^" Z^-^'+~V^"-

293. Si l'on exprime que la droite précédente (14) passe en un point P donné (a, 3, t)i on trouve Féquation

qui exprime que le point de contact d'une tangente issue du point P se trouve sur la courbe

«Fx + m + T^z = o. (15)

Dans les cas où la courbe donnée est algébrique de degré ?)i, l'équation précédente représente une courbe de degré în — 1, qu'on appelle la première polaire du point P. Elle coupe la courbe donnée en ?n(m — 1) poiats, qui sont les points de contact des tangentes menées par P à la courbe donnée, d'où ce théorème :

Les points de contact des tangentes issues cran point à une coarhe algébrique de degré m sont sur une coitrbe algébrique de degré m — 1.

Et comme la coordonnée y de P peut être nulle, on voit que

Les points de contact des tangentes menées à une courbe algébrique^ d'ordre m ^ parallèlement à une direction donnée . sont sur une courbe algébrique d'ordre m [m — 1).

294. Dans le cas particulier où m == 2, les dérivées qui figurent dans l'équation sont aussi du premier degré ; cette équation représente la polaire, ou la corde de contact des tangentes issues de P à la conique. Le lecteur vérifiera sans peine que, dans ce cas, l'équation de la tangente peut aussi s'écrire

Points singuliers

295. Tout ce qui a été dit dans les n"' 291 et suivants suppose essentiellement que la tangente au point M de la courbe soit unique et bien déterminée. Dans ce cas, le point M est dit simple ou ordinaire. Or cela ne saurait être si l'on a en même temps

/K. 2/o) = 0. f!c,{ocQ, y^) = 0, /■;,-, (a^o, t/„) = G, (17)

ou, en employant les coordonnées homogènes,

Fx,(Xo,Yo,Zo) = o, F;^(X„Yo,Zo) = o, F^JX„,Y„Z,) = o.(18)

Dans ce cas, les équations (11) et (14) deviennent indéterminées, et le point M est dit point singulier. 11 faut alors refaire la théorie.

:i96. Soit donc

Féquation de la courbe, et supposons que toutes les dérivées partielles, jusqu'à Tordre yj — 1, soient nulles pour j: = Xq, y == 3/q, et que celles de l'ordre p ne soient pas toutes nulles, comme l'exprime le tableau suivant

fxl K' Po) = o, r'^^„^ {^. Po) = o. Cl (^0. yo) = o,

/"wi-U^O' I/o) ^^ o, f p^y 1^0' ^o)' •••' A/'-iv'^O' Vol "^ ^' ■*o 0 ■^0 -'o

alors le point M (oîq, i/q) sera dit un point multiple d'ordre p. Cela posé, soit

l'équation d'une sécante passant en M. Ses points de rencontre avec la courbe seront donnés par l'équation précédente et par l'équation (1); en éliminant y, on aura l'équation aux abscisses

Posons

a? = ^„ -)- Zi, h ■=■ Ih,

l'équation précédente devient

Nous supposerons que la fonction remplit les conditions requises pour appliquer le théorème de Taylor, n° 176; en remarquant que toutes les dérivées, jusqu'à Tordre p exclusivement, sont nulles, nous aurons

R^ est le reste de la série et est de degré p -+■ l au moins par rapport à A et à k. Remettons Xh à la place de /t, dans l'équation précédente, on voit qu'elle donne p racines nulles pour h; donc la droite (17) rencontre la courbe enp points, confondus avec le point M. Après suppression de ces p racines nulles, l'équation (18) devient

^[/?(*o^yo)+p>4\(^o,yo)+---4-À''/:!f(^o,yo)j+^i^;=o(i9)

pour que la sécante devienne tangente, il faut qu'un nouveau point de rencontre avec la courbe vienne en M, ou que l'équation (19) ait une nouvelle racine nulle, ce qui donne

r-^ (^0. Vo) Tf P>r!^',S^o^ ^o) + - + ^^"r^[^o^ i/o) = o. (20) Cette équation en X est l'équation aux coefficients angulaires

des p tangentes à la courbe au point M, et l'on aurait l'équation de l'ensemble des p tangentes en éliminant a entre cette équation et l'équation (17) ; mais cette manière de parler suppose qu'il y a etrectivement jw branches de courbe passant en M. Nous aurons à examiner ce point de plus près; mais auparavant et pour n'avoir pas à faire une double étude, nous considérerons le cas particulier oii le point M est rejeté à l'infmi.

Théorie des asymptotes

:i97. Une courbe (C) est dite asymptote à une courbe (G), si la plus courte distance d'un point M de (G) à (G') tend vers zéro, lorsque M s'éloigne indéfiniment sur (G).

Les courbes étudiées le plus ordinairement comme asymptotes sont la droite, le cercle, la parabole. Nous ne nous occuperons, dans ce paragraphe, que des droites asymptotes, d'oii l'on peut d'ailleurs, par des transformations connues, passer au cercle et à la parabole. Soit à déterminer une

FiG. 8.

asymptote A de la courbe (G); par définition, la distance MP de M à A doit tendre vers zéro lorsque M s'éloigne à l'infini sur la courbe, et l'on peut remarquer que la distance de M à la droite peut être comptée parallèlement à toute direction MQ, qui fait avec A un angle déterminé non nul. Si donc on cherche d'abord les asymptotes parallèles à Oy, on pourra compter la distance MQ parallèlement à Ox, et le problème sera ramené au suivant : chercher s'il existe des quantités finies a telles que, x étant l'abscisse du point M, la différence x — a

tende vers zéro lorsque y devient infinie, ou encore chercher les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Au lieu

de rendre y infinie, on rend - nulle, et le problème est

ramené à un problème d'algèbre bien connu.

Cherchons maintenant les asymptotes non parallèles à Oy; la distance MQ sera prise ici parallèlement à 0//; si

X z=. ex -\- d

est l'équation de l'asymptote inconnue, et si y est l'ordonnée de M correspondant à la môme abscisse que celledu point Q, il faudra déterminer r et o? par la condition que // — Y ou

y — ex — d tende vers zéro en même temps que — Dans

les mêmes conditions, l'expression — tend vers

zéro, ce qui exige, commet/ est finie, que

lim^; (21)

Cette équation montre que les coefficients (ingulaires des asymptotes sont les mêmes que ceux des droites gui joignent l'origine aux points M rejetés à r infini.

Le coefficient angulaire c étant déterminé, on aura d par la même condition que y — ex — cl tende vers zéro, c'estîi-dire que

d=\\m{y — ca)). (22)

121>jS. Exemples. — 1" La courbe •

appelée stropho'ùle^ admet comme asymptote la droite ■/• = — «, parce que .r = — a rend y inlini.

2° Soit la courbe

Comme asymptote parallèle à Oy, nous trouvons x = — 1 ;

pour avoir les autres, calculons "^ :

Pour j' = GC , le second membre prend la valeur 3, qui est donc le coefficient angulaire de l'asymptote non parallèle à Oj^ L'ordonnée à l'origine se trouvera en cherchant la limite de

3^-^ —"ix—i 5^ + 1

La limite est — 5, et l'équation de cette asymptote

3" Considérons enfin la courbe qui a pour équation

y = \^x^ — Sx-' — i — \/x- 4- ./■ + 1 . (24)

La formule du binôme généralisé (n" 157) nous donne

6 étant finie lorsque x est infinie. De même

Portons ces valeurs dans l'équation (24) et simplifions. Il vient ■"

6" restant finie lorsque x est infinie. Si x devient infinie par valeurs positives, il faut, dans la parenthèse ambiguë, prendre le signe +, ce qui donne

pour première asymptote. Si a: ^ — oo , il faut prendre le signe — , ce qui donne pour l'équation de la courbe

et il est évident que

fi" est une seconde asymptote; car la différence — entre l'ordonnée de la courbe et l'ordonnée de l'asymptote tend vers zéro lorsque x devient infinie.